[논문 리뷰] Asymptotic tail behavior of phase-type scale mixture distributions

Leonardo Rojas‐Nandayapa, Wangyue Xie|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 06.

Probability and Risk Models참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단계형 척도 혼합 분포의 渐近 꼬리 행동을 조사한다—즉, 단계형 랜덤 변수와 비음수 척도 랜덤 변수의 곱으로 정의된 분포로서, 경량 또는 중량 꼬리 행동, 준지수성, 최대 도메인의 접근성을 위한 조건을 제공한다. 이는 이산 척도 분포가 중량 꼬리 분포의 다루기 쉬운 근사화를 가능하게 하며, 꼬리 행동이 척도 분포의 지지 집합과 꼬리 성질에 밀접하게 연결되어 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

We consider phase-type scale mixture distributions which correspond to distributions of a product of two independent random variables: a phase-type random variable $Y$ and a nonnegative but otherwise arbitrary random variable $S$ called the scaling random variable. We investigate conditions for such a class of distributions to be either light- or heavy-tailed, we explore subexponentiality and determine their maximum domains of attraction. Particular focus is given to phase-type scale mixture distributions where the scaling random variable $S$ has discrete support --- such a class of distributions has been recently used in risk applications to approximate heavy-tailed distributions. Our results are complemented with several examples.

연구 동기 및 목표

• 단계형 척도 혼합 분포의 꼬리 행동을 이해하고, 특히 척도 분포의 성질과의 관계를 파악하기 위해.
• 이러한 혼합 분포가 경량 또는 중량 꼬리일 조건을 결정하고, 그 최대 도메인의 접근성을 분류하기 위해.
• 위험 모델링에서 중량 꼬리 분포를 근사하기 위해 이산 척도 분포를 사용하는 데 이론적 근거를 제공하기 위해.
• 척도 분포의 꼬리에 기반하여 혼합 분포의 꼬리에 대한 渐近 근사화를 수립하기 위해.
• 단계형 척도 혼합 분포의 분포적 성질과 모델링 선택 간의 연관성을 제시하여 보험 및 위험 이론 분야의 실용적 응용을 뒷받침하기 위해.

제안 방법

• 메린–스틸리티예스 컨볼루션을 사용하여 단계형 척도 혼합 분포를 $ F(x) = \int_0^\infty G(x/s) \, dH(s) $ 로 정의한다. 여기서 $ G $ 는 단계형이고 $ H $ 는 척도 분포이다.
• 브라이먼의 보조정리를 적용하여 혼합 분포의 꼬리에 대한 渐近 근사화를 유도한다. 특히 $ H $ 가 정규적으로 변형 꼬리를 가질 경우에 중점적으로 다룬다.
• 지지 집합을 기하급수적 진전으로 모델링하여 수렴 속도가 빠른 무한 급수를 확보함으로써 이산 척도 분포의 경우를 분석한다.
• 생존 함수 $ \overline{F}(x) $ 에 대한 渐近 경계 및 근사화를 유도하며, 특정한 모멘트 조건 하에서 $ \overline{H}(x) $ 와의 비례성을 보여준다.
• 라플라스 변환과 행렬 지수 표현을 사용하여 단계형 구성 요소의 꼬리 행동을 분석한다.
• 혼합 분포가 척도 분포에서 준지수성을 상속받는 조건을 수립한다. 특히 $ H $ 가 준지수적이며 $ G $ 가 유한한 모멘트를 가질 경우에 중점적으로 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 척도 분포 $ H $ 에 어떤 조건이 성립할 경우 단계형 척도 혼합 분포가 중량 꼬리일까?
• RQ2 특히 기하급수적 진전을 갖는 이산 지지 집합을 선택할 경우, 혼합 분포의 꼬리 근사화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 단계형 척도 혼합 분포의 최대 도메인의 접근성은 무엇이며, 척도 분포와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 이산 $ H $ 를 갖는 단계형 척도 혼합 분포가 정규적으로 변형되거나 위블 유형 분포와 동일한 渐近 꼬리 행동을 달성할 수 있는가?
• RQ5 위험 확률 모델에서 중량 꼬리 청구 금액 분포를 근사하기 위해 이러한 혼합 분포를 사용하는 데 이론적 기초는 무엇인가?

주요 결과

• 척도 분포 $ H $ 가 무한한 지지 집합과 정규적으로 변형 꼬리를 갖는 경우, 단계형 척도 혼합 분포는 중량 꼬리이다.
• 척도 분포 $ H $ 가 지수 $ -\alpha $ 를 갖는 정규적으로 변형 꼬리를 가질 경우, 혼합 꼬리 $ \overline{F}(x) $ 는 $ \overline{H}(x) $ 와 渐近적으로 비례하며, 이는 $ G $ 의 모멘트 생성 함수를 포함한 상수 요소에 의해 결정된다.
• 기하 지지 집합을 갖는 이산 척도 분포의 경우, 무한 급수 표현은 빠르게 수렴하여 실무에서 효율적인 수치 계산과 절단을 가능하게 한다.
• 渐近 근사화 $ \overline{F}(x) \approx \frac{1 - e^{-\alpha/K}}{\alpha/K} M_G(\alpha) \overline{H}(x) $ 는 $ G $ 의 모멘트 조건 하에서 이론적 경계와 일치하며 성립한다.
• 혼합 분포의 준지수성은 $ G $ 가 유한한 모멘트를 갖고 $ H $ 가 준지수적일 경우 $ H $ 에서 유전된다. 이는 꼬리가 i.i.d. 구성 요소의 최댓값에 의해 지배됨을 보장한다.
• 척도 분포 $ H $ 의 기하 이산화 방법은 파레토와 같은 중량 꼬리 분포를 정확하고 계산적으로 효율적인 방식으로 근사할 수 있도록 한다.