[논문 리뷰] Asymptotical behaviour of the presence probability in branching random walks and fragmentations

Jean Bertoin, Alain Rouault|ArXiv.org|2004. 09. 28.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분기 랜덤 워크와 분열에서, 조상 평균이 무한대일 경우조차도 존재 확률과 기대값 사이의 渐近적 비례성을 확립한다. 이는 이전 연구에서 요구하던 자연스럽지 않은 유한 평균 조건을 제거하기 위해 이산시간 보조 랜덤 워크에 대한 대규모 편차 분석을 정교화함으로써 달성된다. 이로써 $\lim_{n} \frac{\mathbb{P}(Z_n(na+I) \geq 1)}{\mathbb{E} Z_n(na+I)} = K(a) > 0$ 가 $d \geq 1$ 이고 일반적인 분포에 대해 $X\log X$ 조건만 만족하면 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

For a subcritical Galton-Watson process $(ζ_n)$, it is well known that under an $X \log X$ condition, the quotient $P(ζ_n > 0)/ Eζ_n$ has a finite positive limit. There is an analogous result for a (one-dimensional) supercritical branching random walk: when $a$ is in the so-called subcritical speed area, the probability of presence around $na$ in the $n$-th generation is asymptotically proportional to the corresponding expectation. In Rouault (1993) this result was stated under a natural $X \log X$ assumption on the offspring point process and a (unnatural) condition on the offspring mean. Here we prove that the result holds without this latter condition, in particular we allow an infinite mean and a dimension $d \geq 1$ for the state-space. As a consequence the result holds also for homogeneous fragmentations as defined in Bertoin (2001), using the method of discrete-time skeletons; this completes the proof of Theorem 4 in Bertoin-Rouault (2004 see math/PR/0409545). Finally, an application to conditioning on the presence allows to meet again the probability tilting and the so-called additive martingale.

연구 동기 및 목표

• 분기 랜덤 워크의 하위임계 영역에서 조상 점과정에 대한 제한적인 유한 평균 조건을 제거하는 것.
• 분기 랜덤 워크의 결과를 일반 차원 $d \geq 1$ 과 무한 평균 조상 분포로 확장하는 것.
• 이산시간 스켈레톤 방법을 통해 동질적 분열에 대해 결과의 타당성을 확립하는 것.
• 분열 과정에서 기울인 확률에 관해 [7]의 정리 4를 완성하는 것.

제안 방법

• 존재 확률을 보조 랜덤 워크와 연결하기 위해 이산시간 피카르-카크 유형 표현을 사용한다.
• 보조 워크의 기능에 대한 대규모 편차 분석을 적용하여 渐近적 추정을 도출한다.
• 크기 편향 표본 추출과 분해 기법을 활용하여 분기 구조와 조건부 기대값을 다룬다.
• 연속시간 분열의 이산 스켈레톤을 활용하여 분기 랜덤 워크에서 분열 과정으로 결과를 확장한다.
• 우세 수렴 정리를 적용하여 조건부 확률 비율의 균일한 상한을 다룬다.
• 존재 사건 조건부에서 $t \to \infty$ 를 취함으로써 첨가 마팅갈에 의해 유도되는 극한 기울인 확률 측도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조상 평균이 유한하지 않은 하위임계 영역에서도 $\mathbb{P}(Z_n(na+I) \geq 1) \sim K(a) \cdot \mathbb{E} Z_n(na+I)$ 의 渐近적 비례성이 성립하는가?
• RQ2 분기 랜덤 워크 결과가 $X\log X$ 조건만 만족하면 일반 차원 $d \geq 1$ 에서도 확장 가능한가?
• RQ3 조상 평균이 무한대일 경우에도 분열에 대한 존재 확률의 渐近적 결과가 유효한가?
• RQ4 위치 $na$ 에 입자가 존재한다는 조건부에서 $t \to \infty$ 로 갈 때 첨가 마팅갈과 기울인 확률 측도로 어떻게 연결되는가?
• RQ5 이산 스켈레톤은 분기 랜덤 워크와 연속시간 분열을 어떻게 연결하는가?

주요 결과

• 모든 $d \geq 1$ 에 대해 $X\log X$ 조건만 만족하면 유한 조상 평균 조건 없이도 $\lim_{n} \frac{\mathbb{P}(Z_n(na+I) \geq 1)}{\mathbb{E} Z_n(na+I)} = K(a) > 0$ 가 성립한다.
• 이산 스켈레톤 방법을 통해 결과가 동질적 분열로 확장되어 [7]의 정리 4의 증명이 완성된다.
• 조건부 $Z_t(at+I) \geq 1$ 를 $t \to \infty$ 로 갈 때 기울인 확률 측도 $\mathbb{P}^{(p)}$ 가 도출되며, 이는 첨가 마팅갈 $M(p,s)$ 에 의한 $h$-변환이다.
• 조건부 확률과 무조건적 확률 비율의 극한이 거의 확실히 마팅갈 $M(s,p)$ 로 수렴함을 확인하여 기울인 측도로의 수렴을 확인한다.
• 증명은 보조 랜덤 워크의 정교한 대규모 편차 분석에 기반하며, 국소 중심극한정리와 $X\log X$ 적분 가능성으로부터 균일한 상한을 도출한다.
• 상수 $K(a)$ 는 양수이면서 유한하므로, 하위임계 영역에서 존재 확률이 기대값과 같은 지수적 속도로 감소함을 보장한다.