[논문 리뷰] Asymptotically compatible meshfree discretization of state-based peridynamics for linearly elastic composite materials

Nathaniel Trask, Benjamin Huntington외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 01.

Numerical methods in engineering참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비국소성의 영향 범위(horizon)와 격자 간격이 비례적으로 감소할 때 고전적 탄성 이론으로의 일관된 복원을 보장하기 위해 상태기반 페리다이내믹스의 비국소적 변형률 정의를 수정함으로써, 선형 탄성 복합재료에 대한 渐近적 호환성(meshfree) 이산화 기법을 제안한다. 이 방법은 딜리치우 문제에서 2차 수렴을 달성하고, 곡선형 자유 표면 및 복합재료에서 1차 수렴을 보이며, 물성 모델을 수정하지 않고 표면 효과를 제거한다.

ABSTRACT

State-based peridynamic models provide an important extension of bond-based models that allow the description of general linearly elastic materials. Meshfree discretizations of these nonlocal models are attractive due to their ability to naturally handle fracture. However, singularities in the integral operators have historically proven problematic when seeking convergent discretizations. We utilize a recently introduced optimization-based quadrature framework to obtain an asymptotically compatible scheme able to discretely recover local linear elasticity as the nonlocal interaction is reduced at the same rate as the grid spacing. By introducing a correction to the definition of nonlocal dilitation, surface effects for problems involving bond-breaking and free surfaces are avoided without the need to modify the material model. We use a series of analytic benchmarks to validate the consistency of this approach, illustrating second-order convergence for the Dirichlet problem, and first-order convergence for problems involving curvilinear free surfaces and composite materials. We additionally illustrate that these results hold for material parameters chosen in the near-incompressible limit.

연구 동기 및 목표

• 비국소성의 영향 범위(horizon)와 격자 간격을 동시에 감소시킬 때 상태기반 페리다이내믹스의 메쉬프리 이산화 기법이 고전적 선형 탄성 이론으로 渐近적으로 회복되도록 하는 것.
• 특히 자유 표면 및 물성 인터페이스 근처에서 특이적 적분항과 표면 효과를 다루는 과제 해결.
• 편미분 계수(고정계수)가 조각별로 일정한 복합재료에 대해 일관성과 수렴성을 확보하며, 근접 압축 불가능한 극한 조건에서도 성립하도록 하는 것.
• 물성 모델을 수정하지 않고 인위적 경계 보정을 제거하기 위해 변형률 정의를 수정하는 것.

제안 방법

• 고정밀도 비국소 적분 연산자를 이산화하기 위해 최적화 기반 적분법(OBQ) 프레임워크를 활용한다.
• 경계 및 인터페이스에서 이산 발산이 국소 발산으로 수렴하도록 비국소 변형률의 수정된 정의를 도입한다.
• 콤팩트 지지 커널을 갖는 메쉬프리 콜로케이션 방법을 사용하여 불연속성과 균열을 자연스럽게 처리한다.
• 기본 수렴 기준을 충족하기 위해 기계 정밀도 수준에서 일관성을 검증하기 위해 패치 테스트를 시행한다.
• 비균일한 입자 분포 상황에서도 강인성을 평가하기 위해 균일 및 교란된 입자 배열에 적용한다.
• 디리클레 문제, 자유 표면, 복합재료에 대해 알려진 해를 갖는 해석 기준 문제를 사용하여 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메쉬프리 이산화 기법이 비연속적 물성 특성을 갖는 선형 탄성 복합재료에 대해 상태기반 페리다이내믹스에서 渐近적 호환성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 수정된 변형률 정의가 자유 표면 및 결합 파손이 있는 문제에서 수렴성과 표면 효과에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 압축 불가능에 가까운 물성 조건(푸아송 비 ≈ 0.5)에서도 방법이 渐近적 호환성을 유지하는가?
• RQ4 곡선형 자유 표면 및 복합재료 인터페이스를 포함한 문제에서 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ5 비균일한 입자 배열에 대해 강인한가, 아니면 완전한 渐近적 호환성을 확보하기 위해 구조적 카르테시안 격자가 필요한가?

주요 결과

• 균일한 카르테시안 격자에서 딜리클레 문제에 대해 제곱근 평균 제곱(RMS) 노름에서 2차 수렴을 달성한다.
• 곡선형 자유 표면 및 복합재료 문제에서 조차도 1차 수렴이 관찰되며, 근접 압축 불가능 조건에서도 성립한다.
• 압축 가능한 재료(ν = 0.25)의 경우 균일 및 교란된 격자 모두에서 渐近적 호환성이 유지되지만, 비균일 격자에서는 수렴이 약 10⁻⁴ 정확도에서 정체된다.
• 근접 압축 불가능 재료(ν = 0.49)의 경우 균일 격자에서는 수렴이 유지되나, 교란된 격자에서는 수렴성이 떨어지며, 이는 구조적 배열이 필요함을 시사한다.
• 64² 해상도에서 전단 탄성 계수 비율(μ₂/μ₁ ∈ {2⁻⁸, 2⁸})의 광범위한 범위에서 해석적 해를 고정밀도로 재현한다.
• 수정된 변형률 정의는 물성 모델을 수정하지 않고도 표면 효과를 성공적으로 제거하였으며, 이는 이전 방법에서 인위적 경계 강성도를 추가한 것과는 다름.