[논문 리뷰] Asymptotically compatible reproducing kernel collocation and meshfree integration for nonlocal diffusion

Yu Leng, Xiaochuan Tian외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 28.

Numerical methods in engineering참고 문헌 38인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 딜리클레 경계 조건을 가진 비국소 확산 문제에 대해 渐近적 호환성(Asymptotically Compatible)인 재생 커널 (RK) 콜로케이션 방법을 제안하며, 계산 비용을 줄이기 위해 준-이산 비국소 연산자를 활용한 메쉬프리 통합 기법을 통합한다. 이 방법은 메쉬 크기 h와 비국소 영역 크기 δ가 연관되어 있을 경우에도 안정성과 수렴성을 입증하였으며, 2차원에서 수치적으로 검증된 바 있다.

ABSTRACT

Reproducing kernel (RK) approximations are meshfree methods that construct shape functions from sets of scattered data. We present an asymptotically compatible (AC) RK collocation method for nonlocal diffusion models with Dirichlet boundary condition. The scheme is shown to be convergent to both nonlocal diffusion and its corresponding local limit as nonlocal interaction vanishes. The analysis is carried out on a special family of rectilinear Cartesian grids for linear RK method with designed kernel support. The key idea for the stability of the RK collocation scheme is to compare the collocation scheme with the standard Galerkin scheme which is stable. In addition, there is a large computational cost for assembling the stiffness matrix of the nonlocal problem because high order Gaussian quadrature is usually needed to evaluate the integral. We thus provide a remedy to the problem by introducing a quasi-discrete nonlocal diffusion operator for which no numerical quadrature is further needed after applying the RK collocation scheme. The quasi-discrete nonlocal diffusion operator combined with RK collocation is shown to be convergent to the correct local diffusion problem by taking the limits of nonlocal interaction and spatial resolution simultaneously. The theoretical results are then validated with numerical experiments. We additionally illustrate a connection between the proposed technique and an existing optimization based approach based on generalized moving least squares (GMLS).

연구 동기 및 목표

• 비국소 확산 문제에 대해 딜리클레 경계 조건을 갖는 안정적이고 수렴성 있는 메쉬프리 콜로케이션 방법을 개발한다.
• 메쉬 크기 h에 관계없이, 고정된 δ에 대해 비국소 해와 δ → 0일 때의 국소 극한 해로의 수렴성을 보장한다.
• 비국소 강성 행렬을 구성할 때 고차수 적분 기법을 메쉬프리 통합 기법으로 대체하여 계산 비용을 감소시킨다.
• 재생 커널 입자 방법 (RKPM)과 일반화된 이동 최소 제곱법 (GMLS)을 통합하여 적분 가중치를 계산한다.
• 기존에 알려진 안정한 갈레르킨 수식과의 비교를 통해 콜로케이션 방법의 이론적 안정성을 확립한다.

제안 방법

• 직선격자 위에서 선형 재생 커널 (RK) 콜로케이션 방법을 제안하며, 커널 지지 영역을 설계하여 渐近적 호환성을 확보한다.
• 안정한 갈레르킨 수식과의 비교를 통해 콜로케이션 방법의 안정성을 증명한다.
• 각 비국소 영역 내 고정된 수의 적분 점을 사용하는 합산으로 정적분 연산자를 대체하는 준-이산 비국소 확산 연산자를 도입한다.
• 다항식 재생 조건을 통해 적분 가중치를 계산하며, 대칭적인 점 분포 조건 하에서 양수성을 확보함으로써 안정성에 기여한다.
• RK 콜로케이션과 준-이산 연산자를 결합하여 δ와 h가 동시에 변화할 경우에도 정확한 국소 극한 해로의 수렴을 달성한다.
• 각 노드에 고정된 수의 적분 점을 사용하는 메쉬프리 통합 기법을 적용하여, 기존의 가우스 적분 기법 대비 통합 비용을 크게 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재생 커널 콜로케이션 방법이 딜리클레 조건을 가진 비국소 확산 문제에 대해 안정적이고 수렴성 있는가?
• RQ2 δ와 h가 연관되어 있을 경우에도, 고정된 δ에 대해 비국소 해로, 그리고 δ → 0일 때 국소 극한 해로의 수렴이 이루어지는가?
• RQ3 다항식 재생 조건을 갖는 메쉬프리 통합 기법을 사용해 고차수 적분이 필요 없이도 수렴성을 유지하는 준-이산 비국소 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ4 RKPM과 GMLS에서 유도된 적분 가중치는 어떻게 비교되며, 안정성을 확보하기 위해 양수성을 확보할 수 있는가?
• RQ5 δ와 h가 변화할 때, 결합된 RK 콜로케이션 및 메쉬프리 통합 기법의 수렴 특성은 어떠한가?

주요 결과

• RK 콜로케이션 방법은 RK 근사의 성질과 격자 구조를 활용하여 안정한 갈레르킨 수식과의 비교를 통해 안정성이 입증된다.
• 고정된 δ에 대해 비국소 해로 수렴하고, δ → 0일 때 국소 확산 극한으로 수렴하며, δ와 h_max 간의 결합 여부에 관계없이 성립한다.
• 다항식 재생 조건을 갖는 메쉬프리 통합 기법을 사용한 준-이산 비국소 연산자는 δ와 h가 동시에 변화할 경우에도 정확한 국소 극한 해로의 수렴을 보장한다.
• 2차원 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도가 확인되었으며, 경계 조건을 정확하게 구현할 경우 (Remark 7.1 i) 최적의 수렴 순서를 달성한다.
• 경계 조건을 약한 방식으로 구현할 경우 낮은 수렴 속도가 관찰되었으며, 이는 비국소 경계 처리에서 알려진 과제와 일치한다 (Remark 7.1 ii).
• 메쉬프리 통합 기법은 고비용의 이重적분을 고정된 수의 적분 점을 사용하는 희박한 합산으로 대체함으로써 계산 비용을 크게 감소시킨다.