[논문 리뷰] Asymptotically normal distribution of some tree families relevant for phylogenetics, and of partitions without singletons
이 논문은 히어라르키적 나무 수와 싱글턴이 없는 집합 분할의 渐近 정규성을 하르퍼의 방법과 에르되시–슈케리 바이제이션을 사용하여 수립한다. 고정된 叶 수를 가진 진화적 나무의 수와 변동하는 내부 정점 수(또는 $ n+m $ 개의 원소를 크기가 $ \geq 2 $ 인 $ m $ 개의 집합으로 나누는 것과 동치)의 분포는 $ m $ 이 증가함에 따라 정규 분포로 수렴하며, 평균과 분산에 대한 정밀한 渐近 전개가 $ O(1/n) $ 오차 항까지 포함되어 있다.
P.L. Erdos and L.A. Szekely [Adv. Appl. Math. 10(1989), 488-496] gave a bijection between rooted semilabeled trees and set partitions. L.H. Harper's results [Ann. Math. Stat. 38(1967), 410-414] on the asymptotic normality of the Stirling numbers of the second kind translates into asymptotic normality of rooted semilabeled trees with given number of vertices, when the number of internal vertices varies. The Erdos-Szekely bijection specializes to a bijection between phylogenetic trees and set partitions with classes of size \geq 2. We consider modified Stirling numbers of the second kind that enumerate partitions of a fixed set into a given number of classes of size \geq 2, and obtain their asymptotic normality as the number of classes varies. The Erdos- Szekely bijection translates this result into the asymptotic normality of the number of phylogenetic trees with given number of vertices, when the number of leaves varies. We also obtain asymptotic normality of the number of phylogenetic trees with given number of leaves and varying number of internal vertices, which make more sense to students of phylogeny. By the Erdos-Szekely bijection this means the asymptotic normality of the number of partitions of n + m elements into m classes of size \geq 2, when n is fixed and m varies. The proofs are adaptations of the techniques of L.H. Harper [ibid.]. We provide asymptotics for the relevant expectations and variances with error term O(1/n).
연구 동기 및 목표
- 고정된 레이블된 叶 수를 가진 진화적 나무의 수의 渐近 정규성을 수립하기 위해.
- 특히 $ n+m $ 개의 원소를 크기가 2 이상인 $ m $ 개의 클래스로 나누는 싱글턴 클래스가 없는 집합 분할의 분포를 분석하기 위해.
- 이러한 분포의 평균과 분산에 대한 정밀한 渐近 표현식을 $ O(1/n) $ 오차 항까지 유도하기 위해.
- 제2종 스틸링 수에 대한 하르퍼의 방법을 싱글턴이 없는 분할을 세는 수정된 스틸링 수에 적응하기 위해.
- 진화 생물학자들이 진화 나무 분석에서 큰 조합적 수를 정확하게 근사하기 위해 유용한 자료를 제공하기 위해.
제안 방법
- 뿌리 밑에 반표기된 나무와 집합 분할 사이의 에르되시–슈케리 바이제이션을 활용하여 분할에 대한 결과를 진화적 나무 결과로 번역한다.
- 생성함수와 다항식 근 분석에 초점을 맞춘 조합 배열의 渐近 정규성을 증명하기 위해 하르퍼의 방법을 적용한다.
- 특히 $ H(x,z) $를 사용하여 $ n $ 개의 레이블된 叶과 $ k $ 개의 내부 정점을 가진 진화적 나무 수 $ T_{n,k} $ 의 분포를 모델링하기 위해 이변수 지수 생성함수를 활용한다.
- 생성함수의 함수 방정식 유도: $ H(x,z) = z + x(e^{H(x,z)} - 1 - H(x,z)) $, 지수 공식에서 유도됨.
- 주요 특이점 $ \rho = -1 + 2\ln 2 $ 근처에서 $ H(1,z) $ 의 특이 전개를 사용하여 $ n $ 개의 叶을 가진 진화적 나무 총 수 $ t_n $ 의 渐近 전개를 추출한다.
- 총 수 $ t_n $ 의 渐近 전개를 $ T_{n,k} $ 의 재귀 관계와 결합하여 $ O(1/n) $ 오차 범위 내에서 $ T_{n+1,.} $ 의 기대값과 분산을 계산한다.
실험 결과
연구 질문
- RQ1레이블된 叶 수가 $ n $ 개인 진화적 나무의 수와 내부 정점 수 $ k $ 가 변할 때, $ k $ 가 변할 수록 정규 분포를 따르는가?
- RQ2크기가 2 이상인 $ m $ 개의 클래스로 $ n+m $ 개의 원소를 나누는 수정된 제2종 스틸링 수는 $ m $ 이 변할 때 渐近 정규성을 갖는가?
- RQ3이러한 분할 또는 진화적 나무의 분포에 대한 평균과 분산의 정밀한 渐近 표현식은 무엇인가?
- RQ4제2종 스틸링 수에 대한 하르퍼의 방법을 싱글턴이 없는 분할에 대해 정규성을 증명하기 위해 적응시킬 수 있는가?
- RQ5특히 $ O(1/n) $ 오차 항을 포함할 때, 이러한 분포의 기대값과 분산에 대한 渐近 근사의 정확도는 어느 정도인가?
주요 결과
- 레이블된 叶 수가 $ n $ 개인 진화적 나무의 수와 내부 정점 수가 변할 때, $ n $ 이 증가함에 따라 분포는 渐近 정규성을 갖는다.
- 고정된 $ n $ 에 대해 $ m $ 이 변할 때, $ n+m $ 개의 원소를 크기가 2 이상인 $ m $ 개의 클래스로 나누는 집합 분할의 수는 渐近 정규성을 갖는다.
- $ n $ 개의 叶을 가진 진화적 나무 총 수의 渐近 전개는 $ t_n \sim \frac{n!}{\sqrt{\pi}\rho^{n-1/2}}\left(\frac{1}{2n^{3/2}} + \frac{3}{16n^{5/2}} + \frac{25}{256n^{7/2}} + O(n^{-9/2})\right) $ 이며, $ \rho = -1 + 2\ln 2 $ 이다.
- 내부 정점 수가 변하는 $ n+1 $ 개의 叶을 가진 진화적 나무 수 $ T_{n+1,.} $ 의 기대값은 $ \frac{t_{n+2}}{2t_{n+1}} - \frac{n+1}{2} $ 로 渐近적으로 표현되며, $ O(1/n) $ 오차를 가진다.
- 내부 정점 수가 변하는 $ n+1 $ 개의 叶을 가진 진화적 나무 수 $ T_{n+1,.} $ 의 분산은 $ \frac{t_{n+3}}{4t_{n+1}} - \frac{t_{n+2}^2}{4t_{n+1}^2} - \frac{t_{n+2}}{2t_{n+1}} - \frac{n+1}{4} $ 로 渐近적으로 표현되며, 역시 $ O(1/n) $ 오차를 가진다.
- 다항식 $ P_n(x) = \sum_k T_{n+1,k} x^k $ 는 $ n $ 개의 서로 다른 실근을 가지며, 그 중 하나는 0에 위치하고 나머지 $ n-1 $ 개는 $ (-1,0) $ 에 있다. 이는 귀납법과 롤레의 정리를 통해 증명되었다.
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