[논문 리뷰] Asymptotically Optimal Monte Carlo Sparse Multivariate Polynomial Interpolation Algorithms of Straight-Line Program

Qiao-Long Huang, Xiao-Shan Gao|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 26.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 15인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 직선 프로그램으로 표현된 희소 다변수 다항식에 대한 渐近적으로 최적의 몬테카를로 및 결정론적 보간 알고리즘을 제안한다. 몬테카를로 알고리즘은 유한체에서 bit 복잡도가 nT에 대해 선형이고 D의 로그에 대해 세제곱이며, 로그 인자들을 무시할 경우 입력을 읽는 것과 동일한 효율성을 달성한다. 이는 다중 다변수 다항식의 渐近적으로 최적의 곱셈 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose new deterministic interpolation algorithms and Monte Carlo interpolation algorithms for sparse multivariate polynomials represented by straight-line programs. Let f be an n-variate polynomial with a degree bound D and and term bound T. Our deterministic algorithms have better complexities than existing deterministic interpolation algorithms in most cases. Our Monte Carlo interpolation algorithms are asymptotically optimal in the sense that their bit complexities are linear in nT and cubic in log D, when the coefficients of the polynomials are from a finite field. Since f has size nT, our algorithm implies that interpolating a straight-line program polynomial f is as easy as reading f, if the log D factor in the complexities is not considered. Based on the Monte Carlo interpolation algorithm, we give an asymptotically optimal algorithm for the multiplication of several multivariate polynomials, whose complexity is softly linear in the input size plus the output size, if the logarithm factors are ignored.

연구 동기 및 목표

• 직선 프로그램으로 표현된 희소 다변수 다항식을 위한 기존 결정론적 방법보다 더 효율적인 보간 알고리즘을 개발하는 것.
• 특히 nT 및 log D 의존성에서 bit 복잡도의 渐近적 최적성을 확보하기 위해, 유한체에서 몬테카를로 보간에 대해 bit 복잡도의 渐近적 최적성을 달성하는 것.
• 보간 알고리즘을 활용하여 다중 다변수 다항식 곱셈에 대해 渐近적으로 최적의 알고리즘을 설계하는 것.
• 로그 인자들을 무시할 경우 보간 복잡도가 입력 읽기와 거의 동일하다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 직선 프로그램으로부터 희소 다변수 다항식을 복원하기 위해 랜덤 샘플링 및 무작위 점에서의 평가를 활용하는 몬테카를로 보간 알고리즘 설계.
• 정확성을 고확률로 보장하고 bit 복잡도를 최소화하기 위해 유한체 위에서 대수적 기법을 활용.
• n(변수 수), T(항 수의 상한), D(차수 상한)에 따른 bit 복잡도 분석을 통해 nT에 대해 선형성과 log D에 대해 세제곱 의존성을 입증.
• 보간 알고리즘을 서브루틴으로 사용하여 다중 다변수 다항식 곱셈에 대한 효율적인 알고리즘 구축.
• 로그 인자들을 무시할 경우 입력 및 출력 크기의 합에 대해 복잡도가 부드럽게 선형임을 입증.
• 정보 이론적 하한선과 로그 인자들을 제외한 복잡도가 일치함을 보여, 渐近적 최적성을 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직선 프로그램으로 인코딩된 희소 다변수 다항식에 대한 몬테카를로 보간 알고리즘이 bit 복잡도에서 渐近적으로 최적일 수 있는가?
• RQ2 특히 유한체에서 보간의 bit 복잡도는 n, T, D에 대해 어떻게 척도가 맞는가?
• RQ3 로그 인자들을 무시할 경우 보간이 입력을 읽는 것과 얼마나 효율적으로 수행될 수 있는가?
• RQ4 보간 알고리즘으로부터 다중 다변수 다항식 곱셈에 대해 渐近적으로 최적의 알고리즘을 유도할 수 있는가?
• RQ5 직선 프로그램의 크기와 다항식 재구성 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 몬테카를로 보간 알고리즘은 nT에 대해 선형이고 log D에 대해 세제곱이며, 이는 유한체에서 渐近적으로 최적임을 보여준다.
• 보간 알고리즘의 bit 복잡도는 입력 다항식 크기(nT)와 로그 인자들을 제외한 범위에서 거의 최적이다.
• 로그 인자에 따른 D의 의존성을 무시할 경우 보간 과정은 입력 다항식을 읽는 것과 동일한 효율성을 가진다.
• 다중 다변수 다항식 곱셈에 대해 복잡도가 입력 및 출력 크기의 합에 대해 부드럽게 선형인 渐近적으로 최적의 알고리즘이 유도되었다.
• 대부분의 경우 기존 결정론적 방법보다 결정론적 알고리즘이 더 우수한 성능을 보이며, 특히 bit 복잡도 측면에서 그렇다.
• 결과적으로 주어진 복잡도 모델 하에서 직선 프로그램으로 인코딩된 다항식의 보간은 입력 액세스보다 상당히 비용이 많이 들지 않음을 보여준다.