[논문 리뷰] Asymptotics and Hamiltonians in a First order formalism

Abhay Ashtekar, Jonathan Engle외 1명|MPG.PuRe (Max Planck Society)|2008. 02. 18.

Quantum chaos and dynamical systems인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 무한한 보정항이 필요 없도록 비정적 평탄한 4차원 시공간에서 일반 상대성 이론에 대한 일阶 작용 원리를 수립한다. 온도르미 테트라드와 로렌츠 접속을 사용함으로써, 해밀턴ian이 비정적 파oincaré 대칭을 생성하는 잘 정의된 코바리언트 위상공간을 도출한다. 이로 인해 유한한 에너지-운동량과 각운동량을 얻을 수 있으며, 로그 영역 이동과 수퍼이동성과 관련된 오랫동안 지속된 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We consider 4-dimensional space-times which are asymptotically flat at spatial infinity and show that, in the first order framework, action principle for general relativity is well-defined \emph{without the need of infinite counter terms.} It naturally leads to a covariant phase space in which the Hamiltonians generating asymptotic symmetries provide the total energy-momentum and angular momentum of the space-time. We address the subtle but important problems that arise because of logarithmic translations and super-translations both in the Langrangian and Hamiltonian frameworks. As a forthcoming paper will show, the treatment of higher dimensions is considerably simpler. Our first order framework also suggests a new direction for generalizing the spectral action of non-commutative geometry.

연구 동기 및 목표

• 비정적 평탄한 시공간에서 무한한 보정항이 없는 일반 상대성 이론에 대한 잘 정의된 작용 원리 수립.
• 라그랑지안 및 해밀턴 프레임워크에서 로그 영역 이동과 수퍼이동성으로 인한 비정상적인 대칭성의 문제 해결.
• 비정적 파oincaré 변환에 의해 생성되는 해밀턴ian을 사용하여 에너지-운동량과 각운동량의 유한하고 코바리언트인 표현 유도.
• 표면 항을 포함한 아인슈타인-힐베르트 작용에 기반한 이전 접근법의 제약을 피하는 자가 일관된 라그랑지안 및 해밀턴 기술 제공.
• 비가환 기하학의 스펙트럴 작용을 일반화하기 위한 기초를 마련하기 위해 독립적인 테트라드와 스핀 접속을 사용하는 일阶 형식 채택.

제안 방법

• 정규 직교 테트라드 $e^a_\mu$와 로렌츠 접속 $A^{ab}_\mu$를 사용한 일阶 작용 수립으로, 경계 보정항이 없는 명백한 유한한 작용 도출.
• 비정적 대칭군을 파oincaré 군으로 줄이는 경계 조건 설정을 통해 잘 정의된 보존량 확보.
• 코바리언트 위상공간 형식을 사용하여 일阶 작용에서 유도된 해밀턴ian이 비정적 파oincaré 변환을 생성하도록 유도.
• 해밀턴 프레임워크 내에서의 일致성을 확보하기 위해 경계 조건을 강화하여 로그 영역 이동과 수퍼이동성의 역할 분석.
• 공간 무한대에서 표면 적분을 구성하여 물질 기여 없이도 에너지-운동량과 각운동량의 유한한 표현 도출.
• 표면 항의 구조를 변경하지 않고 스칼라, 전자기, 양-밀스 등 표준 물질 장을 포함시키며, 물질 기여는 제약 방정식을 통해만 해밀턴ian 적분에 영향을 미침.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정적 평탄한 시공간에서 일반 상대성 이론의 일阶 형식이 무한한 보정항이 필요 없도록 할 수 있는가?
• RQ2 로그 영역 이동과 수퍼이동성이 라그랑지안 및 해밀턴 프레임워크에서 비정적 대칭성과 보존량 정의에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 표면 항이나 민코프스키 공간에 대한 임bedding에 의존하지 않고도 에너지-운동량과 각운동량의 유한하고 코바리언트인 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ4 4차원에서 비정적 대칭군을 파oincaré 군으로 줄이기 위해 필요한 경계 조건는 무엇인가?
• RQ5 일阶 형식이 비가환 기하학의 스펙트럴 작용을 일반화하는 데 기초로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 테트라드와 로렌츠 접속을 기반으로 한 일阶 작용은 비정적 평탄한 시공간에서도 무한한 보정항 없이 유한하고 잘 정의되어 있다.
• 이 작용에서 유도된 코바리언트 위상공간은 비정적 파oincaré 변환을 생성하는 해밀턴ian을 도출할 수 있게 하며, 이로 인해 유한한 에너지-운동량과 각운동량을 얻을 수 있다.
• 적절히 강화된 경계 조건은 로그 영역 이동과 수퍼이동성으로 인한 모호성을 제거하여 해밀턴 프레임워크 내에서의 일치성을 확보한다.
• 유도된 에너지-운동량과 각운동량의 표현은 정확한 대칭성이 있는 경우 스피 프레임워크나 다른 방법으로 유도된 결과와 일치한다.
• 표준 물질 장의 포함은 해밀턴ian의 표면 적분 구조를 변화시키지 않으며, 물질 기여는 제약 방정식을 통해만 해밀턴ian 적분에 영향을 미친다.
• 일阶 프레임워크는 테트라드와 스핀 접속을 운동 방정식 이전에 독립 변수로 간주함으로써 비가환 기하학의 스펙트럴 작용을 자연스럽게 일반화할 수 있는 기반을 제공한다.