[논문 리뷰] Asymptotics and statistical inferences on independent and non-identically distributed bivariate Gaussian triangular arrays

Xin Liao, Zuoxiang Peng|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 13.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 인덱스 $i/n$ 에 따라 부드럽게 변하는 상관 계수를 가진 독립적이고 비동일하게 분포된 이元 정규 삼각형 배열의 최대값에 대해 최초로 일阶 및 이阶 渐近 전개를 수립한다. 상관 계수 함수 $m(x)$ 가 연속적인 양함수임에 따라 의존성에 따라 달라지는 극한 분포를 도출하였으며, 정규성 조건 하에서 이阶 전개를 제공하고, $m(x)$ 에 대한 최대우도 추정을 통한 매개변수적 추론을 개발하여 Hüsler-Reiss 유형의 의존성 구조에 대한 통계적 검정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we establish the first and the second-order asymptotics of distributions of normalized maxima of independent and non-identically distributed bivariate Gaussian triangular arrays, where each vector of the $n$th row follows from a bivariate Gaussian distribution with correlation coefficient being a monotone continuous function of $i/n$. Furthermore, parametric inference for this unknown function is studied. Some simulation study and real data sets analysis are also presented.

연구 동기 및 목표

• 비동일하고 의존적인 성분을 가진 이원 정규 삼각형 배열의 정규화된 최대값의 극한 분포를 유도하기 위해.
• 상관 계수 함수 $m(i/n)$ 에 대한 정규성 조건 하에서 이阶 분포 전개를 수립하기 위해.
• 의존성 구조를 규정하는 알려지지 않은 함수 $m(x)$ 에 대한 매개변수적 통계적 추론을 개발하기 위해.
• 최대우도 추정과 추정량의 점근적 성질을 활용하여 Hüsler-Reiss 조건을 검정하기 위해.

제안 방법

• 상관 계수를 $\rho_{ni} = 1 - m(i/n)/\log n$ 로 모델링하며, $m(x)$ 는 $[0,1]$ 에서 연속적인 양함수이다.
• 세 가지 영역에서 정규화된 최대값 $\mathbf{M}_n = (M_{n1}, M_{n2})$ 의 일阶 극한 분포를 도출한다: $\max m(i/n) \to 0$, $\min m(i/n) \to \infty$, 및 $m(x)$ 가 연속적일 경우.
• 일계 극한 주위에서의 수렴 속도 분석과 테일러 전개를 통해 이계 전개를 수립한다.
• 크라머의 장치와 다변량 중심극한정리를 적용하여 $m(x) = \alpha + \beta x^\gamma$ 에서의 매개변수에 대한 최대우도 추정량의 점근 정규성을 도출한다.
• Hüsler-Reiss 최대안정 분포를 기준으로 삼고, $i/n$ 에 대한 기능적 의존성으로 비정상적, 비 i.i.d. 설정으로 확장한다.
• 극한값 이론과 상관 계수가 변하는 이원 정규 벡터의 모멘트 근사치를 활용하여 공동 수렴 속도와 점근 분포를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상관 계수가 인덱스 $i/n$ 에 따라 부드럽게 변화할 때, 정규화된 이원 최대값의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ2 함수 $m(x)$ 에 대한 정규성 조건 하에서 이계 점근 전개가 일계 극한을 어떻게 개선하는가?
• RQ3 의존성 구조를 규정하는 알려지지 않은 함수 $m(x)$ 에 대해 일관된 매개변수적 추론을 수행할 수 있는가?
• RQ4 모형 $m(x) = \alpha + \beta x^\gamma$ 의 매개변수에 대한 최대우도 추정량의 점근 분포는 무엇인가?
• RQ5 제안된 통계적 추론 프레임워크를 통해 Hüsler-Reiss 조건을 어떻게 검정할 수 있는가?

주요 결과

• 상관 계수 $\rho_{ni} = 1 - m(i/n)/\log n$ 에서 $\mathbf{M}_n$ 의 극한 분포는 다음과 같다: $H(x,y) = \exp\left(-e^{-y}\int_0^1 \Phi\left(\sqrt{m(t)} + \frac{x-y}{2\sqrt{m(t)}}\right)dt - e^{-x}\int_0^1 \Phi\left(\sqrt{m(t)} + \frac{y-x}{2\sqrt{m(t)}}\right)dt\right)$.
• 만약 $\max m(i/n) \to 0$ 이면, 극한 분포는 $\Lambda(\min(x,y))$ 로 분해되며, 꼬리에서의 점근적 의존성을 나타낸다.
• 만약 $\min m(i/n) \to \infty$ 이면, 성분들은 점근적으로 독립적이며, 극한 분포는 $\Lambda(x)\Lambda(y)$ 로 표현된다.
• 함수 $m(x)$ 에 대한 정규성 조건 하에서 연속적인 이계 분포 전개가 유도되었으며, 이는 $\max_{1\leq i\leq n} m(i/n)$ 의 행동에 따라 수렴 속도가 결정된다.
• 모형 $m(x) = \alpha + \beta x^\gamma$ 에 대한 최대우도 추정량은 점근적으로 정규분포를 따르며, $\frac{1}{\sqrt{n}}(l_{n1}, l_{n2}, l_{n3})^T \overset{d}{\to} N(0, \Sigma)$ 이다. 여기서 $\Sigma$ 는 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 에 의존하는 행렬이다.
• 최대우도 추정량의 점근 분산은 $t^\gamma$ 와 $-\log t$ 를 포함하는 적분으로 특징지어지며, 이는 $m(x)$ 의 기능적 형태에 대한 추론을 가능하게 한다.