[논문 리뷰] Asymptotics for the Discrete-Time Average of the Geometric Brownian Motion and Asian Options

Dan Pirjol, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 29.

Stochastic processes and financial applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 블랙-쇼스 모델 하에서 이산 시간 평균에 대한 점근적 분포를 유도하며, 고정된 확산 계수와 이자율 파rameter를 가진 큰 n 근처에서 분석한다. 중심극한정리, 베르리-에센 경계, 대규모 탈진, 모멘트 생성 함수의 점근적 성질을 확립하여 고정 및 유동 행사가격을 가진 이산 평균 아시안 옵션의 정밀한 가격 산정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The time average of geometric Brownian motion plays a crucial role in the pricing of Asian options in mathematical finance. In this paper we consider the asymptotics of the discrete-time average of a geometric Brownian motion sampled on uniformly spaced times in the limit of a very large number of averaging time steps. We derive almost sure limit, fluctuations, large deviations, and also the asymptotics of the moment generating function of the average. Based on these results, we derive the asymptotics for the price of Asian options with discrete-time averaging in the Black-Scholes model, with both fixed and floating strike.

연구 동기 및 목표

• 샘플링 포인트 수 n이 무한대에 접근할 때 기하 Brown 운동의 이산 시간 평균의 점근적 행동을 분석하기 위해.
• 평균 자산 가격에 대한 거의확실한 극한, 변동성, 대규모 탈진, 모멘트 생성 함수의 점근적 성질을 유도하기 위해.
• 이러한 결과를 활용하여 고정 및 유동 행사가격을 가진 이산 평균 아시안 옵션의 정밀한 점근적 공식을 도출하기 위해.
• 작은 시간 간격의 극한에서 이산 시간 평균이 연속 시간 평균으로 수렴함을 확립하기 위해.
• 확률론적 및 해석적 기법을 사용하여 옵션 가격의 대규모 n 점근적 성질을 엄밀히 제공하기 위해, 특히 근가 및 근외 옵션의 경우를 포함하여.

제안 방법

• 고정된 $ \rho = (r-q)\tau n $ 및 $ \beta = \frac{1}{2}\sigma^2 \tau n^2 $ 조건 하에서, 이산 시간 평균 $ A_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n S_{t_i} $ 이 $ n \to \infty $ 일 때 거의확실한 극한을 유도한다.
• 중앙극한정리와 비균일 베르리-에센 경계를 적용하여 $ \sqrt{n}(\kappa S_{t_n} - A_n) $ 의 변동성 스케일링을 특성화하며, 명시적인 분산 표현을 제공한다.
• 대규모 탈진 이론을 사용하여 근외 옵션 가격의 지수 감소 속도를 유도하며, 비율 함수 $ \mathcal{H}(0) $ 를 사용한다.
• 이를 통해 대규모 탈진 및 중심극한정리 결과를 뒷받침하는 $ A_n $ 의 모멘트 생성 함수 점근적 성질을 도출한다.
• 표현식 $ S_t = S_0 e^{\sigma Z_t + (r-q - \frac{1}{2}\sigma^2)t} $ 를 사용하며, 여기서 $ Z_t $ 는 표준 Brown 운동이다.
• 시간 간격 $ \tau = t_n / n $ 이 0으로 수렴함에 따라 이산 시간 결과가 연속 시간 평균으로 수렴하는 것을 분포 수렴을 통해 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 샘플링 포인트 수가 무한대에 접근할 때 이산 시간 기하 Brown 운동 평균의 거의확실한 극한은 무엇인가요?
• RQ2 이산 평균의 변동성은 점근적으로 어떻게 행동하며, 정규화된 편차의 극한 분산은 무엇인가요?
• RQ3 큰 n 근처에서 근외 아시안 옵션의 가격에 대한 대규모 탈진 점근적 성질은 무엇인가요?
• RQ4 근가 아시안 옵션의 잠재 변동성은 평균 포인트 수에 따라 어떻게 척도화되나요?
• RQ5 블랙-쇼스 모델 하에서 큰 n 에서 고정 및 유동 행사가격 아시안 옵션 가격의 정밀한 점근적 행동은 무엇인가요?

주요 결과

• 고정된 $ \beta $ 와 $ \rho $ 조건 하에서, $ \rho \neq 0 $ 이면 이산 시간 평균 $ A_n $ 은 거의확실하게 $ \frac{r-q}{r-q-\sigma^2/2} S_0 e^{\rho} $ 로 수렴하고, $ \rho = 0 $ 이면 $ S_0 $ 으로 수렴한다.
• 정규화된 편차 $ \sqrt{n}(\kappa S_{t_n} - A_n) $ 은 분산 $ \frac{2\beta}{\rho^2} \left[1 - \frac{2}{\rho}(e^\rho - 1) + \frac{e^{2\rho} - 1}{2\rho} \right] $ 을 가진 정규 랜덤 변수로 분포 수렴하며, 이는 평균에 대한 중심극한정리의 결과를 제공한다.
• 근외 풋 옵션의 경우, 가격은 $ P(n) = e^{-n\mathcal{H}(0) + o(n)} $ 와 같이 지수적으로 감소하며, $ \mathcal{H}(0) $ 은 대규모 탈진의 비율 함수에 의해 결정된다.
• 근가 아시안 옵션 가격은 $ C(n) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}} S_0 e^{-\frac{r\rho}{r-q}} \sqrt{\beta v(\rho)} \frac{1}{\sqrt{n}} $ 와 같이 역제곱근 감소를 보이며, 이는 역제곱근 감소를 나타낸다.
• 근가 아시안 옵션의 잠재 변동성은 $ \lim_{n\to\infty} \frac{\Sigma_{\rm LN}(A_\infty,n)}{\sigma} = \frac{S_0}{A_\infty} \sqrt{v(\rho)} $ 를 만족하며, 여기서 $ v(\rho) $ 는 $ \rho $ 의 알려진 함수이다.
• 고정 행사가격 옵션의 경우, 콜 옵션 가격은 $ C(n) = \kappa S_0 e^{-\frac{r\rho}{r-q}} - S_0 e^{-\frac{r\rho}{r-q}} \frac{e^\rho - 1}{\rho} - \frac{e^{-\frac{r\rho}{r-q}} S_0 (e^\rho - 1)}{2n} + O(n^{-2}) $ 와 같이 점근적으로 행동하며, 명시적인 보정 항이 포함되어 있다.