[논문 리뷰] Asymptotics for the expected shortfall

Tobias Zwingmann, Hajo Holzmann|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 22.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 분포 함수가 분위수에서 연속성과 엄격한 단조성 조건을 만족할 경우, 최소한의 정규성 조건 하에서 경험 분위수 및 기대손실 추정기의 공동 점근정규성을 확립한다—다시 말해, 미분 가능성이나 양의 밀도가 필요하지 않다. 이중 스코링 함수와 argmax-연속성 정리의 활용을 통해, 분위수 추정기의 수렴 속도가 비표준일 경우에도 기대손실이 여전히 $\sqrt{n}$-속도로 점근정규성을 유지함을 보이며, 이는 강건한 리스크 측정 추정의 핵심 기술적 과제를 해결한다.

ABSTRACT

We derive the joint asymptotic distribution of empirical quantiles and expected shortfalls under general conditions on the distribution of the underlying observations. In particular, we do not assume that the distribution function is differentiable at the quantile with strictly positive derivative. Hence the rate of convergence and the asymptotic distribution for the quantile can be non-standard, but our results show that the expected shortfall remains asymptotically normal with a $\sqrt{n}$-rate, and we even give the joint distribution in such non-standard cases. In the derivation we use the bivariate scoring functions for quantile and expected shortfall as recently introduced by Fissler and Ziegel (2016). The main technical issue is to deal with the distinct rates for quantile and expected shortfall when applying the argmax-continuity theorem. We also consider spectral risk measures with finitely-supported spectral measures, and illustrate our results in a simulation study.

연구 동기 및 목표

• 기본 분포에 대한 약한 정규성 조건 하에서 경험 분위수와 기대손실의 공동 점근분포를 유도하는 것.
• 분위수 추정기의 수렴 속도가 비표준일 경우에도 기대손실이 여전히 $\sqrt{n}$-속도로 점근정규성을 유지함을 보이는 것.
• 유한지지 스펙트럼 측도를 가진 스펙트럼 리스크 측정에 대한 분석을 확장하는 것.
• 분위수와 기대손실의 수렴 속도가 다를 경우 argmax-연속성 정리를 적용하는 데 발생하는 기술적 과제를 해결하는 것.
• 비정규 설정(예: 분위수에서 뾰족함 또는 밀도가 0인 분포)에서 리스크 측정에 대한 통계적 추론을 위한 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• Fissler과 Smith(2015)가 최근 도입한 분위수 및 기대손실에 대한 이중 스코링 함수를 사용하여 최소대비 추정기를 정의한다.
• 일반 조건 하에서 추정기의 공동 점근분포를 도출하기 위해 argmax-연속성 정리를 적용한다.
• 분위수와 기대손실의 수렴 속도가 다를 경우를 다루기 위해 매개변수 공간을 이진 쉘로 분해하고, 거리 엔트로피 논리를 활용한다.
• 커버링 수와 거리 엔트로피를 사용한 체이닝 논리를 활용하여 매개변수 공간 전역에서의 경험 과정을 제어한다.
• 스코링 함수 차이의 유계성과 연속성에 기반하여 경험 과정의 기대 최대값을 유계화하기 위해 대칭화 및 압축 논리를 사용한다.
• 마르코프 부등식과 엔트로피 적분의 모멘트 유계를 조합하여 경험 과정에 대한 균일 제어를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기대손실 추정기가 비표준 수렴 속도를 보일 경우에도, 어떤 최소한의 정규성 조건 하에서 점근정규성을 유지하는가?
• RQ2 분위수와 기대손실 추정기의 수렴 속도가 다를 경우 argmax-연속성 정리는 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ3 분포 함수가 분위수에서 미분 가능하지 않을 경우, 경험 분위수와 기대손실의 공동 점근분포는 어떻게 되는가?
• RQ4 유한지지 스펙트럼 측도를 가진 스펙트럼 리스크 측정은 약한 정규성 조건 하에서 일관된 추정이 가능하고, 알려진 점근분포를 갖는가?
• RQ5 비표준 분위수 수렴이 기대손실 추정기의 점근적 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 분위수 추정기의 수렴 속도가 비표준일 경우(예: 분위수에서 밀도가 0이 되는 경우)에도, 기대손실 추정기는 여전히 $\sqrt{n}$-속도로 점근정규성을 유지한다.
• 분포 함수가 $\alpha$-분위수에서 연속적이며 엄격히 증가함을 유일한 가정으로 하여도, 분위수와 기대손실 추정기의 공동 점근분포를 도출할 수 있다.
• 두 추정기의 수렴 속도가 다를 경우를 고려한 체이닝 논리를 통해 경험 과정에 대한 균일 제어를 확립한다.
• 분위수에서 양의 또는 미분 가능한 밀도가 필요하지 않다는 점에서, 이전 결과들이 이러한 부드러움 조건에 의존했던 점을 초월한다.
• 기술적 프레임워크를 통해 분포 함수의 뾰족함 또는 분위수에서 0인 도함수를 가진 경우(예: 뾰족함 또는 두 번째 차수의 영점이 있는 시뮬레이션 시나리오)에도 점근분포 유도가 가능하다.
• 이 방법은 유한지지 스펙트럼 측도를 가진 스펙트럼 리스크 측정에 적용 가능하며, 동일한 약한 정규성 조건 하에서 그들의 공동 점근분포를 제공한다.