[논문 리뷰] Asymptotics for the normalized error of the Ninomiya-Victoir scheme

Gerbi, Anis Al, Benjamin Jourdain외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동에 의해 구동되는 SDE에서 Ninomiya-Victoir 스킴의 정규화된 오차의 渐近 분포를 수립한다. $√{N}(X - X^{NV,\eta})$ 가 브라운 벡터장의 리 괄호와 독립적인 브라운 운동에 의해 구동되는 애파인 SDE로 안정적으로 법칙에 따라 수렴함을 증명하며, 이는 수렴 속도가 $1/2$ 임을 확인한다. 유일한 예외는 벡터장들이 교환될 경우이며, 이 경우 수렴 속도는 $1$ 으로 향상된다. 이 결과는 이 스킴을 다수준 몬테카를로 방법과 함께 사용하는 데에 대한 이론적 근거를 제공한다.

ABSTRACT

In a previous work, we proved strong convergence with order $1/2$ of the Ninomiya-Victoir scheme $X^{NV,η}$ with time step $T/N$ to the solution $X$ of the limiting SDE. In this paper we check that the normalized error defined by $\sqrt{N}\left(X - X^{NV,η} ight)$ converges to an affine SDE with source terms involving the Lie brackets between the Brownian vector fields. The limit does not depend on the Rademacher random variables $η$. This result can be seen as a first step to adapt to the Ninomiya-Victoir scheme the central limit theorem of Lindeberg Feller type, derived by M. Ben Alaya and A. Kebaier for the multilevel Monte Carlo estimator based on the Euler scheme. When the Brownian vector fields commute, the limit vanishes. This suggests that the rate of convergence is greater than $1/2$ in this case and we actually prove strong convergence with order $1$.

연구 동기 및 목표

• Ninomiya-Victoir 스킴에 대한 정규화된 오차 $\sqrt{N}(X - X^{NV,\eta})$ 의 渐近적 행동을 분석하는 것.
• 강한 수렴 차수 $1/2$ 의 맥락에서 정규화된 오차 과정의 극한 분포를 수립하는 것.
• 브라운 벡터장들이 서로 교환될 경우 수렴 속도가 향상되는지 여부를 규명하는 것.
• Ninomiya-Victoir 스킴을 다수준 몬테카를로 방법과 함께 사용하기 위한 이론적 기초를 제공하는 것.
• Euler 스킴에 대해 Lindeberg-Feller의 결과와 유사한 중심극한정리 유형의 결과를 Ninomiya-Victoir 스킴으로 확장하는 것.

제안 방법

• Rényi에 의해 체계화되고 Jacod 및 Protter에 의해 확장된 안정적인 법칙 수렴을 사용하여 정규화된 오차의 극한 행동을 분석하는 것.
• 이산 시간 Ninomiya-Victoir 스킴을 연속 시간으로 보간하여 渐近 오차 분포를 도출하는 것.
• 브라운 벡터장 간의 리 괄호 $[\sigma^j, \sigma^m]$ 과 독립적인 브라운 운동 $B^{j,m}$ 를 포함하는 극한 SDE 유도.
• 오차와 진짜 해 사이의 오차를 제어하기 위해 이토의 공식과 이토-테일러 전개를 적용하는 것.
• 오차 과정의 모멘트를 유 bounds 하고 모멘트 안정성을 확립하기 위해 그로워발의 부등식을 사용하는 것.
• 계수 $b$ 와 $\sigma^j$ 에 대한 리프시츠 연속성과 정규성 가정을 활용하여 모멘트 추정과 수렴 속도를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화된 오차 $\sqrt{N}(X - X^{NV,\eta})$ 가 $N \to \infty$ 일 때 비퇴화된 극한으로 법칙에 따라 수렴하는가?
• RQ2 정규화된 오차의 渐近 분포를 지배하는 극한 SDE의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 브라운 벡터장 간의 리 괄호는 극한 오차 분포에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 극한 오차가 사라지는 조건은 무엇이며, 이는 수렴 속도에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 이전에 Euler 스킴에 대해 유도된 다수준 몬테카를로 추정기의 중심극한정리가 Ninomiya-Victoir 스킴으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 정규화된 오차 $\sqrt{N}(X - X^{NV,\eta})$ 는 브라운 벡터장의 리 괄호와 독립적인 브라운 운동에 의해 구동되는 애파인 SDE의 해로 안정적으로 법칙에 따라 수렴한다.
• 극한 분포는 라데마커 랜덤 변수 $\eta$ 에 의존하지 않으며, 이는 스킴의 渐近 오차가 부호 수열의 선택에 대해 안정적임을 나타낸다.
• 브라운 벡터장들이 서로 교환될 경우 리 괄호 항이 사라지고, 극한 오차 과정은 0이 된다. 이는 더 높은 수렴 속도를 의미한다.
• 논문은 벡터장들이 서로 교환될 경우 강한 수렴 차수 1을 증명하며, 이는 $[\sigma^j, \sigma^m] = 0$ 이 모든 $j,m$ 에 대해 성립할 경우 $1/2$ 수렴 속도가 날카롭지 않음을 확인한다.
• 渐近 분포는 분열 계수 $\partial b(X_s)$ 와 분산 계수 $\partial\sigma^j(X_s)$ 를 각각 포함하는 SDE로 특징지어지며, 리 괄호에서 유래한 소스 항이 포함된다.
• 결과는 일반적인 비교환 케이스에서 Ninomiya-Victoir 스킴의 강한 수렴 속도가 $1/2$ 임을 확인한다. 정규화된 오차가 분포상에서 0이 되지 않기 때문이다.