[논문 리뷰] Asymptotics for weakly dependent errors-in-variables

Michal Pešta|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 22.

Spectroscopy and Chemometric Analyses인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비정상적이고 동일분포가 아닐 수 있는 $\alpha$- 및 $\varphi$-혼합 오차를 갖는 선형 측정오차모형(EIV 모형)에서 총최소제곱(TLS) 추정량의 점근정규성을 확립한다. 주요 기여는 일반적인 혼합 조건 하에서 TLS 추정량의 점근정규분포를 증명함으로써 블록부트래핑 절차를 통한 타당한 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Linear relations, containing measurement errors in input and output data, are taken into account in this paper. Parameters of these so-called errors-in-variables (EIV) models can be estimated by minimizing the total least squares (TLS) of the input-output disturbances. Such an estimate is highly non-linear. Moreover in some realistic situations, the errors cannot be considered as independent by nature. Weakly dependent (α- and ϕ-mixing) disturbances, which are not necessarily stationary nor identically distributed, are considered in the EIV model. Asymptotic normality of the TLS estimate is proved under some reasonable stochastic assumptions on the errors. Derived asymptotic properties provide necessary basis for the validity of block-bootstrap procedures.

연구 동기 및 목표

• 선형 측정오차모형(EIV 모형)에서 측정오차가 의존적인 경우 총최소제곱(TLS) 추정량의 점근정규성을 확립하기 위해.
• 오차의 i.i.d. 가정을 완화하기 위해 $\alpha$- 및 $\varphi$-혼합 수열을 통해 약한 의존성을 允허하기 위해.
• 블록부트래핑 절차의 타당성을 위한 이론적 기반을 제공하기 위해.
• 오차의 정 stationarity 또는 동일분포 가정을 제거하여 점근결과의 일반성을 강화하기 위해.

제안 방법

• EIV 시스템을 $\mathbf{Y} = \mathbf{Z}\bm{\beta} + \bm{\varepsilon}$ 및 $\mathbf{X} = \mathbf{Z} + \bm{\Theta}$ 로 모델링하며, 여기서 $\mathbf{X}, \mathbf{Y}$ 는 관측된 변수, $\mathbf{Z}$ 는 관측되지 않은 변수이며, 오차 $\bm{\varepsilon}, \bm{\Theta}$ 는 약한 의존성을 갖는다.
• 입력 및 출력 변수 양쪽에서 잔차 제곱합을 최소화하는 총최소제곱(TLS)을 사용하여 $\bm{\beta}$ 를 추정한다.
• 공동 오차 벡터 $[\bm{\Theta}_{i,\bullet}, \varepsilon_i]$ 에 대해 $\alpha$- 및 $\varphi$-혼합 계수를 도입함으로써 약한 의존성을 설정하며, 이는 비정상적 및 비i.i.d. 오차를 허용한다.
• 특히 Bradley(2005)의 혼합 계수 및 모멘트 조건에 기반한 혼합 수열에 대한 함수적 중심극한정리 적용.
• 모멘트 조건 및 혼합 감쇠 속도를 검증함으로써 TLS 추정량의 점근정규성을 확립하며, 특히 $\omega > 0$ 에 대해 $\sum_{n=1}^\infty \alpha(\rho_\circ, n)^{\omega/(2+\omega)} < \infty$ 를 만족시킨다.
• 정규화된 추정오차의 점근분포를 유도하기 위해 Cramér-Wold 장치와 Slutsky의 정리를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 EIV 모형에서 오차가 i.i.d. 가 아닌 약한 의존성을 갖는 경우 총최소제곱(TLS) 추정량이 여전히 점근정규성을 갖는가?
• RQ2 정 stationarity 또는 오차의 동일분포 가정 없이 $\alpha$- 및 $\varphi$-혼합 조건 하에서 점근정규성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 약한 의존성을 갖는 EIV 모형에서 TLS 추정량의 점근정규성을 확보하기 위해 필요한 모멘트 및 혼합 속도 조건는 무엇인가?
• RQ4 혼합 계수 $\alpha(n)$ 과 $\varphi(n)$ 이 TLS 추정량의 수렴 속도 및 점근분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 유도된 점근정규성에 기반하여 약한 의존성을 갖는 EIV 모형에서의 블록부트래핑 절차를 추론에 적용할 수 있는가?

주요 결과

• EIV 모형에서 회귀계수 $\bm{\beta}$ 의 총최소제곱(TLS) 추정량은 $\alpha$- 및 $\varphi$-혼합 오차 하에서 점근정규성을 갖는다.
• 오차 수열의 정 stationarity 또는 동일분포 가정 없이도 점근정규성이 유지된다.
• TLS 추정량의 점근분산은 $\mathbf{t}^\top \beth \mathbf{t} > 0$ 으로 주어지며, 여기서 $\beth$ 는 통합 입력-출력 벡터의 점근분산-공분산 행렬이다.
• 혼합 계수의 감쇠 속도가 충분히 빠르며, $\alpha(\rho_\circ, n)^{\omega/(2+\omega)} = \mathcal{O}(n^{-1 - \delta})$ 를 만족시키며, 이는 필요한 수렴 조건을 보장한다.
• 증명은 $\sum_{n=1}^\infty \mathbb{E}[\xi_n^4]/n^2 < \infty$ 와 $\varphi(\rho_\circ, n) \to 0$ as $n \to \infty$ 를 만족시키며, 이는 제시된 모멘트 및 혼합 조건 하에서 성립한다.
• 결과적으로 점근정규성이 이론적으로 보장되므로, 약한 의존성을 갖는 EIV 모형에서의 블록부트래핑 절차를 추론에 적용할 수 있음을 검증한다.