[논문 리뷰] Asymptotics of Brownian motions on classical Lie groups, the master field on the plane, and the Makeenko-Migdal equations

Thierry Lévy|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 12.

Random Matrices and Applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 고전적 리 군(직교, 유니터리, 심플렉틱) 위에서 브라운 운동의 대 N 점근적 성질을 수립하고, 비가환 분포에서 수렴을 증명하며 명시적인 오차 한계를 제시하며, 유클리드 평면 위에서 양-밀스 측도의 대 N 극한을 구성한다. 또한 메이켄코-미그달 방정식을 엄밀히 유도하고, 윌슨 루프 기대값이 루프 길이에 의해 제어되는 속도로 결정론적으로 수렴함을 보인다.

ABSTRACT

We study the large N asymptotics of the Brownian motions on the orthogonal, unitary and symplectic groups, extend the convergence in non-commutative distribution originally obtained by Biane for the unitary Brownian motion to the orthogonal and symplectic cases, and derive explicit estimates for the speed of convergence in non-commutative distribution of arbitrary words in independent Brownian motions. Using these results, we construct and study the large N limit of the Yang-Mills measure on the Euclidean plane with orthogonal, unitary and symplectic structure groups. We prove that each Wilson loop converges in probability towards a deterministic limit, and that its expectation converges to the same limit at a speed which is controlled explicitly by the length of the loop. In the course of this study, we reprove and mildly generalise a result of Hambly and Lyons on the set of tree-like rectifiable paths. Finally, we establish rigorously, both for finite N and in the large N limit, the Schwinger-Dyson equations for the expectations of Wilson loops, which in this context are called the Makeenko-Migdal equations. We study how these equations allow one to compute recursively the expectation of a Wilson loop as a component of the solution of a differential system with respect to the areas of the faces delimited by the loop.

연구 동기 및 목표

• 유니터리 군에서의 빈의 수렴 결과를 직교 및 심플렉틱 군으로 확장한다.
• 독립된 브라운 운동의 단어들에 대한 비가환 분포에서의 수렴 속도에 대한 명시적 추정치를 도출한다.
• 유클리드 평면 위에서 고전적 구조 군을 갖는 양-밀스 측도의 대 N 극한을 구성하고 분석한다.
• 유한 N 및 무한 N에서 윌슨 루프 기대값에 대한 메이켄코-미그달 방정식을 엄밀히 확립한다.
• 윌슨 루프 기대값이 루프 길이에 의해 제어되는 속도로 결정론적 극한으로 수렴함을 보인다.

제안 방법

• 비가환 확률 도구를 사용하여 직교, 유니터리, 심플렉틱 군 위에서의 브라운 운동의 대 N 점근적 성질을 분석한다.
• 비가환 분포에서의 수렴을 직교 및 심플렉틱 군으로 확장하여 빈의 결과를 일반화한다.
• 독립된 브라운 운동의 임의의 단어에 대한 비가환 분포에서의 수렴 속도에 대한 명시적 추정치를 사용한다.
• 윌슨 루프 관측량을 분석하여 평면 위에서의 양-밀스 측도의 대 N 극한을 구성한다.
• 대 N 극한의 맥락에서 트리 유형의 정적 경로에 대한 함블리와 라이온스의 결과를 재구성하고 일반화한다.
• 윌슨 루프 기대값에 대한 슈윙거-다이슨(메이켄코-미그달) 방정식을 유도하고 분석하며, 루프에 의해 둘러싸인 면적에 따라 매개변수화된 미분계수 시스템을 통한 재귀적 계산이 가능함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직교, 유니터리, 심플렉틱 군 위에서의 브라운 운동은 대 N 극한에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 클래식 리 군 위에서 독립된 브라운 운동의 단어들에 대한 비가환 분포에서의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 유클리드 평면 위에서의 양-밀스 측도는 윌슨 루프에 대해 결정론적 대 N 극한을 갖는가?
• RQ4 유한 N 및 대 N 극한에서 메이켄코-미그달 방정식을 엄밀히 유도할 수 있는가?
• RQ5 윌슨 루프 기대값의 수렴 속도는 루프의 기하적 성질(예: 길이)에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 논문은 브라운 운동이 직교 및 심플렉틱 군에서 비가환 분포로 수렴함을 확립하며, 빈의 결과를 유니터리 경우에서 일반화한다.
• 독립된 브라운 운동의 임의의 단어에 대한 비가환 분포에서의 수렴 속도에 대한 명시적 추정치가 도출된다.
• 각 윌슨 루프는 평면 위에서의 양-밀스 측도의 대 N 극한에서 확률적으로 결정론적 극한으로 수렴한다.
• 각 윌슨 루프의 기대값은 루프 길이에 의해 명시적으로 제어되는 속도로 동일한 결정론적 극한으로 수렴한다.
• 슈윙거-다이슨 방정식(메이켄코-미그달 방정식)은 유한 N 및 대 N 극한 모두에서 엄밀히 유도된다.
• 윌슨 루프의 기대값은 루프에 의해 둘러싸인 면적의 크기에 따라 매개변수화된 미분계수 시스템의 해의 구성요소로 재귀적으로 계산될 수 있다.