[논문 리뷰] Asymptotics of conductors of elliptic curves over Q

Sean Howe, Kirti Joshi|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 ℚ 위의 타원곡선의 도수의 점점 퍼짐을 조사하며, 하디-리틀우드 추측을 가정할 경우 도수가 무한히 많은 소수임을 증명하고, 아이와니에츠의 정리에 의해 조건 없이 거의 소수이자 반안정 도수도 무한히 많음을 보여준다. 강력한 코헨-렌스트라 히ュ리스틱을 가정할 경우 도수의 상한 밀도는 약 0.686로 제한되며, 이는 대부분의 소수가 도수가 아님을 시사한다.

ABSTRACT

In this note we study numbers which occur as conductors of elliptic curves over Q. We show, by constructing families of elliptic curves with quadratic discriminant and invoking a theorem of Iwaniec, that this set contains infinitely many almost primes. We show, assuming a strong version of the Cohen-Lenstra heuristics, that the set of prime conductors has an explicitly bounded density in the set of primes. Studying the Cremona and Stein-Watkins databases of elliptic curves we conjecture that the set of conductors should be of density zero in the set of natural numbers and that the set of prime conductors should be of density zero in the set of prime numbers.

연구 동기 및 목표

• ℚ 위의 타원곡선 도수의 점점 밀도와 분포를 이해하는 것.
• 도수의 집합이 ℕ 또는 소수 집합에서 양의 밀도를 가질지 여부를 결정하는 것.
• 해석적 수론과 히ュ리스틱 모델을 사용하여 소수 및 거의 소수 도수의 무한성과 밀도를 조사하는 것.
• 크레모나와 스텐-워터킨스 데이터베이스의 데이터를 바탕으로 도수가 ℕ과 ℙ에서 밀도가 0임을 추측하는 것.
• 2-토르션과 홀수군 통계가 코헨-렌스트라 유형의 히ュ리스틱을 통해 도수 존재를 제약하는 데 미치는 역할을 탐색하는 것.

제안 방법

• 소수 인수를 적게 가진 도수를 생성하기 위해 이차 판별식을 가진 타원곡선의 무한한 가족을 구성한다.
• 아이와니에츠의 거의 소수에 관한 정리를 적용하여 조건 없이 거의 소수 도수의 무한성을 확립한다.
• 유리수 2-토르션을 가진 타원곡선의 세츠러의 분류와 도수 p = u² + 64를 사용하여 도수 존재성을 특정한 형태의 소수와 연결한다.
• 자명한 2-토르션을 가진 곡선의 존재성을 이차체 ℚ(√±p) 및 ℚ(√±2p)의 홀수군의 3로 나누어떨어짐 조건으로 변환한다.
• 특정한 합동 계열 mod 8에 속하는 소수 판별식을 가진 이차체에 대해 개선된 코헨-렌스트라 히ュ리스틱을 적용한다.
• 히ュ리스틱 모델에서 홀수군 통계와 독립성 가정을 조합하여 소수 도수의 상한 밀도를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℚ 위의 타원곡선 도수의 집합은 ℕ에서 양의 밀도를 가질까?
• RQ2 ℚ 위의 타원곡선에 대해 도수가 소수인 경우가 무한히 많은가?
• RQ3 모든 소수 집합 내에서 소수 도수의 상한 밀도는 얼마인가?
• RQ4 이차체의 홀수군 통계는 주어진 도수를 가진 타원곡선의 존재와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 특정한 소수 판별식에 대해 개선된 코헨-렌스트라 히ュ리스틱을 사용하여 도수의 분포를 모델링할 수 있는가?

주요 결과

• 하드리-리틀우드 추측을 가정할 경우, ℚ 위의 타원곡선에 대해 도수가 소수인 경우가 무한히 많다.
• 조건 없이, 아이와니에츠의 거의 소수에 관한 정리를 통해 거의 소수 도수와 반안정 도수의 무한성이 입증된다.
• 강력한 코헨-렌스트라 유형의 추측을 가정할 경우, 모든 소수 집합 내에서 소수 도수의 상한 밀도는 약 0.686 이하로 제한된다.
• 데이터베이스의 수치적 증거(10⁸ 이내)와 히ュ리스틱 추론을 바탕으로 도수 집합은 ℕ에서 밀도가 0이다.
• 데이터와 코헨-렌스트라 히ュ리스틱에 기반하여 소수 도수 집합은 모든 소수 집합에서 밀도가 0이다.
• 연속적인 도수가 아닌 구간의 길이가 유계가 아니며, 데이터는 길이 45 이상의 길이를 가진 경우를 보여주어 임의로 긴 간격이 존재할 가능성을 시사한다.