[논문 리뷰] Asymptotics of Queue Length Distributions in Priority Retrial Queues

Joris Walraevens, Dieter Claeys외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 22.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 확률 생성 함수의 특이점 분석을 통해 이중 클래스 우선순위 재시도 M/G/1 대기열에서 궤도 길이 분포의 渐近적 꼬리 행동을 유도한다. 두 가지 별개의 영역—'우선순위 영역'에서는 지수 감쇠가 거듭제곱 법칙 인자에 의해 조절되고, '재시도 영역'에서는 재시도 비율이 하중감쇠에 영향을 주어 비우선순위 재시도 대기열과 유사한 渐近적 행동을 보인다.

ABSTRACT

We calculate asymptotics of the distribution of the number of customers in orbit in a two-class priority retrial $M/G/1$-type queueing model. In this model, priority customers wait in line while non-priority customers join an orbit and retry later. Although the generating function and moments of the number of customers in orbit has been analyzed before, asymptotics of the distribution have not been thoroughly investigated. We use singularity analysis of the probability generating function to do just that. Our results show that different regimes exist for these asymptotics in case of light-tailed service times: in what we call the `priority regime', the tail asymptotics have the same decay ($\sim cn^{-3/2}R^{-n}$) as in the priority non-retrial queue and the retrial rate only influences the constant $c$. In the `retrial regime', the retrial rate also influences the sub-exponential factor of the asymptotics. In this regime, asymptotics are very similar to asymptotics in retrial queues without (priority) waiting line. Finally, we also analyze the case that the service time distribution is power law (with or without exponential cut-off) using the same technique.

연구 동기 및 목표

• 이중 클래스 우선순위 재시도 M/G/1 대기열에서 궤도에 있는 고객 수의 渐近적 행동을 조사하기 위해, 우선순위 고객이 대기하고 비우선순위 고객이 차단된 후 재시도하는 모델을 고려한다.
• 기존의 대기열 길이 渐近적 행동에 대한 지식을, 주로 일반 대기열이나 단일 클래스 재시도 시스템에 집중해 왔던 바를 더 복잡한 우선순위 재시도 환경으로 확장한다.
• 재시도 비율과 서비스 시간 분포가 궤도 길이 분포의 무거운 尾 또는 가벼운 尾 감쇠에 어떻게 영향을 주는지 규명한다.
• 특히 셀룰러 네트워크 및 콜 센터와 같은 분야에서 극도로 혼잡한 상황에서의 시스템 성능에 대한 보다 정교한 이해를 제공한다.

제안 방법

• 궤도 길이의 확률 생성 함수(PGF)의 특이점 분석을 통해 꼬리 행동의 渐近적 성격을 추출한다.
• PGF를 우선순위 대기열과 재시도 궤도를 나타내는 성분으로 분해하고, z=1에서의 주요 특이점 근처에서 그 특이점을 분석한다.
• 경미한 꼬리와 거듭제곱 법칙 서비스 시간 분포를 구분하여 각각 다른 渐近적 기법을 적용한다.
• 경미한 꼬리 서비스 시간에 대해서는 재시도 비율이 하중감쇠 인자에 미치는 영향에 따라 '우선순위 영역'과 '재시도 영역'이라는 두 영역을 식별한다.
• 거듭제곱 법칙 서비스 시간에 대해서는 매끄러운 은밀한 함수 체계를 사용하여 PGF의 渐近적 행동을 특성화하고 거듭제곱 법칙 꼬리 감쇠를 도출한다.
• 유도 과정은 은밀한 함수 정리와 시스템 G(r,s)=s 및 G_w(r,s)=1의 해 존재성을 기반으로 주요 특이점 R_h를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재시도 비율은 우선순위 재시도 대기열에서 궤도 길이 분포의 꼬리 감쇠에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 서비스 시간 분포와 재시도 메커니즘에 따라 궤도 길이 분포에 별개의 渐近적 영역이 존재하는가?
• RQ3 궤도 길이의 渐近적 행동은 표준 우선순위 대기열과 비우선순위 재시도 대기열과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 거듭제곱 법칙 서비스 시간 분포가 궤도 길이의 꼬리 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 PGF의 특이점 분석은 궤도 길이 분포의 하중감쇠 인자들을 정확히 포착할 수 있는가?

주요 결과

• 경미한 꼬리 서비스 시간의 '우선순위 영역'에서는 궤도 길이 꼬리가 ∼cn⁻³/²R⁻ⁿ로 감쇠하며, 재시도 비율은 상수 c에만 영향을 주고 감쇠율에는 영향을 주지 않는다.
• 재시도 영역에서는 재시도 비율이 하중감쇠 인자에 영향을 주어 비우선순위 재시도 대기열과 유사한 渐近적 행동을 보인다.
• 지수 α_B*를 가진 거듭제곱 법칙 서비스 시간에 대해서는 궤도 길이 분포가 ∼n^(α_B*−1)로 감쇠하며, 지수는 서비스 시간 꼬리와 시스템 매개변수에 의해 결정된다.
• 궤도 길이 분포 q(n)의 渐近적 행동은 PGF의 주요 특이점 R_h에 의해 지배되며, 이는 G(r,s)=s 및 G_w(r,s)=1의 해에 의해 결정된다.
• r(n)과 p₂(n)의 유도된 渐近적 행동은 동일하며 ∼n^α_B*로 척도가 맞춰지며, 이는 거듭제곱 법칙 서비스 시간 하에서 재시도 및 우선순위 성분이 동일한 거대 꼬리 행동을 공유함을 시사한다.
• 분석은 서비스 시간 분포가 유형 1일 경우 매끄러운 은밀한 함수 체계가 생성 함수 h(z)에 적용됨을 확인하며, 주요 제곱근 특이점 R_h의 존재를 보장한다.