[논문 리뷰] Asymptotics of the Fourier and Laplace transforms in weighted spaces of analytic functions

V. Matsaev, Mikhail Sodin|ArXiv.org|2001. 11. 04.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 로그 가중 함수에 대한 조건 하에서 해석적 함수와 전함수의 가중 공간에서 푸리에 및 라플라스 변환에 대한 날카운 점근적 추정을 수립한다. 핵심 결과는 영점 근처에서 역 푸리에 변환의 로그 감쇠율이 가중 함수의 로그 모듈러스의 레지오프 변환과 일치하며, 가중 함수의 성장에 대한 정규성 조건 하에서 정확한 오차 한계를 제공한다는 것이다.

ABSTRACT

We study the asymptotics near the origin of the Fourier transform in weighted Hardy spaces of analytic functions in the upper half-plane, and of the Laplace transform in weighted spaces of entire functions of zero exponential type. These results are applied to two closely related problems posed by E. Dyn'kin: we find the asymptotics of the depth of zero in non-quasianalytic Denjoy-Carleman classes, and of the exact Levinson-Sjoberg majorant.

연구 동기 및 목표

• 상반평면의 가중 하르디 공간에 속하는 함수의 역 푸리에 변환의 점근적 행동을 규명하는 것.
• 영지수 유형의 전함수의 라플라스 변환의 성장률을 가중 공간에서 분석하는 것.
• E. 다이너킨이 제기한 두 문제를 해결하는 것: 비정칙 덴조-카를레만 클래스에서의 영점 깊이와 정확한 레빈슨-시오버그 상한 함수.
• 가중 함수의 레지오프 변환에 따라 역 푸리에 변환 및 라플라스 변환의 초위상 노름에 대한 정확한 점근 공식을 수립하는 것.

제안 방법

• 외부 가중 함수 $ W $ 를 사용하여 가중 하르디 공간 $ H^p(W) $ 를 정의하며, 이때 $ W $ 는 음이 아닌, 짝수이며 증가하는 로그 가중 함수 $ \varphi $ 로 결정된다.
• 함수 $ f \in H^p(W) $ 에 대해 역 푸리에 변환 $ \mathcal{F}^{-1}f(s) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-isx}dx $ 를 정의하고, 상반평면으로의 해석적 계속을 수행한다.
• 영점의 깊이를 측정하기 위해 함수 $ \rho_{p,W}(s) = \sup_{\|f\|_{H^p(W)} \leq 1} |(\mathcal{F}^{-1}f)(s)| $ 를 도입한다.
• 점근적 감쇠를 지배하는 레지오프 변환 $ Q(s) = \sup_{y>0} \left[ \log|W(iy)| - ys \right] $ 를 정의한다.
• 프라그멘-린델뢰프 원리, 크라인-아키에제르 인수분해, 그리고 $ q(y) = \log|W(iy)| $ 의 세 번째 도함수에 대한 추정을 포함한 복소해석 기법을 적용하여 경계를 도출한다.
• 도마르와 보리체프의 결과를 활용하여, 비음수 테일러 계수를 가진 전함수의 성질을 이용해 점근 경계에 도달하는 극값 함수를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $ f \in H^p(W) $ 에 대해 $ s \to 0 $ 일 때 역 푸리에 변환 $ \mathcal{F}^{-1}f(s) $ 의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ2 전함수 $ f \in B(W) $ 가 영지수 유형일 때, $ \zeta \to 0 $ 일 때 라플라스 변환 $ \mathcal{L}f(\zeta) $ 의 성장은 어떻게 되는가?
• RQ3 다이너킨이 제기한 비정칙 덴조-카를레만 클래스에서의 영점 깊이는 정확히 얼마인가?
• RQ4 레빈슨-시오버그 상한 함수의 정확한 형태는 무엇이며, 가중 함수의 성장과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $ \varphi $ 에 대한 조건 하에서 $ \log \rho_{p,W}(s) \sim -Q(s) $ 가 $ s \to 0 $ 일 때 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 조건 (v) 하에서 $ s \to 0 $ 일 때 $ \log \rho_{p,W}(s) = -(1+o(1))Q(s) $ 를 만족하며, 여기서 $ Q(s) $ 는 $ \log|W(iy)| $ 의 레지오프 변환이다.
• 극값 함수 $ f = 1/W $ 는 $ s \to 0 $ 일 때 $ \left(\mathcal{F}^{-1}\frac{1}{W}\right)(s) = (1+o(1))\sqrt{Q^{\prime\prime}(s)}\,e^{-Q(s)} $ 를 만족한다.
• 만약 $ \varphi $ 가 양의 하한 순서를 가진다면, $ s \to 0 $ 일 때 $ \log \rho_{p,W}(s) = -Q(s) + O(\log Q(s)) $ 를 만족한다.
• 라플라스 변환에 대해 $ \lambda_W(s) = \sup_{\|f\|_{B(W)} \leq 1} |(\mathcal{L}f)(-is)| $ 는 동일한 조건 하에서 $ s \to 0 $ 일 때 $ \lambda_W(s) \asymp \sqrt{Q^{\prime\prime}(s)}\,e^{Q(s)} $ 를 만족한다.
• 조건 (i)–(iv), (iv-b), 및 (vii) 를 만족하는 $ \varphi $ 를 가진 가중 함수에 대해, 보리체프의 결과를 활용하여 동일한 조건 하에서 $ \lambda_W(s) \asymp \sqrt{Q^{\prime\prime}(s)}\,e^{Q(s)} $ 가 조건 없이 성립함을 보였다.
• 가정에 따라 함수 $ q(y) = \log|W(iy)| $ 는 오목하고 증가하며, $ y \to \infty $ 일 때 $ q'(y) \to 0 $ 이고, $ Q(q'(y)) \asymp \varphi(y) $ 를 만족한다.