[논문 리뷰] At-the-money short-time call-price asymptotics for new classes of exponential Lévy models

Allen Kyle Hoffmeyer, Christian Houdré|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 16.

Stochastic processes and financial applications인용 수 0

한 줄 요약

논문은 지수 Lévy 모형에서 로그 수익이 알파-안정 법칙의 작은 시간 도메인에 속하는 경우의 1차 ATM 콜-가격 및 암시적 변동성의 짧은 시간 점근을 도출하고, regular variation of the Lévy measure가 결과를 지배하며 고전적인 t^{1/alpha} 스케일링을 넘어서는 새로운 수렴 속도를 도입한다.

ABSTRACT

We develop at-the-money call-price and implied volatility asymptotic expansions in time to maturity for a class of asset-price models whose log returns follow a Lévy process. Under mild assumptions placing the driving Lévy process in the small-time domain of attraction of an $α$-stable law with $α\in (1,2)$, we give first-order at-the-money call-price and implied volatility asymptotics. A key observation is that both the stable domain of attraction and the finiteness of the centering constant $\barμ$ are preserved under the share measure transformation, so that all of the distributional input needed for the call-price expansion can be read off from the regular variation of the Lévy measure near the origin. When the Lévy process has no Brownian component, new rates of convergence of the form $t^{1/α} \ell(t)$ where $\ell$ is a slowly varying function are obtained. We provide an example of an exponential Lévy model exhibiting this behavior, with $\ell$ not asymptotically constant, yielding a convergence rate of $(t / \log(1/t))^{1/α}$. In the case of a Lévyprocess with Brownian component, we show that the jump contribution is always lower order, so that the leading $\sqrt{t}$ behavior of the at-the-money call price is universal and driven entirely by the Gaussian part of the characteristic triplet.

연구 동기 및 목표

• 지수 Lévy 모형에서 로그-가격이 Lévy 과정인 상태에서 ATM 짧은 시간 확장을 연구하고 개발한다.
• Lévy 측정의 작은 시간 정규 변동이 안정 도메인 도착 및 척도화를 결정하는 방식과 이 구조가 공유-측정 변환 하에서 보존되는지 설명한다.
• 완만한 가정(브라운 운동 및 순수 도약 구성 포함) 하에서 1차 ATM 콜-가격 및 암시적 변동성 점근을 도출한다.
• 가격 책정에 사용되는 주가 대비 변환에서 안정 도메인과 중심 상수가 불변임을 증명한다.
• 제로를 넘는 수렴 속도(새로운 수렴 속도) 예시를 제시한다.

제안 방법

• 공유-측정 변환을 사용하여 X_t 와 독립적 지수 변수로 표현된 ATM 콜 가격(Carr–Madan 표현)을 도출한다.
• Lévy 측정의 0에 가까운 곳에서의 정규 변 variation(gamma 및 V 함수)을 통해 DOA를 알파-안정 법칙으로 특징짓는다.
• 공유-측정으로의 변환에서 안정 도메인과 중심 상수의 유한성을 보임 nu^* = e^{x} nu.
• 정리 3.2에 따라 B_t와 t ~ beta_t^{-eta} 및 느리 변하는 함수에 연결된 첫 번째 ATM 가격 c(t,0) = (S0 E^*[Z_+]) B_t + o(B_t)을 도출한다.
• 브라운 구성요소가 있는 경우 universal sqrt(t) 스케일링으로 이어지는 지배적인 ATM 거동을 얻는다(정리 3.4–3.5).
• 감쇠가 log 항을 포함하는 Lévy 밀도에 의해 새로운 첫 차속도(수렴 속도)를 제시하는 명시적 예를 제공한다(섹션 4).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알파-안정 법칙의 작은 시간 도메인에 X_t가 속하는 경우의 1차 ATM 콜-가격 및 암시적 변동성 점근은 어떠한가? alpha는 (1,2) 사이이다.
• RQ2 origin 근처 Lévy 측정의 정규 변동이 속도 B_t와 중심 상수를 어떻게 결정하며 이 구조가 공유-측정 변환하에서 보존되는가?
• RQ3 브라운 운동 구성요소의 존재가 콜 가격의 Leading ATM 거동 및 암시적 변동성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 Lévy 측정의 0 근처 느린 변화를 통해 t^{1/alpha}를 넘는 새로운 수렴 속도가 도출될 수 있는가?
• RQ5 ATM 가격 및 암시적 변동성의 수렴 속도(로그 보정 포함)를 명시적으로 특징지을 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• ATM 콜 가격은 첫 차 확장으로 c(t,0) = (S0 E^*[Z_+]) B_t + o(B_t) 를 만족하며 여기서 Z는 alpha-안정이고 B_t는 Lévy 측정의 0 근처 정규 변동과 연결됩니다.
• ATM에서의 암시적 변동성은 hat{sigma}(t) ~ sqrt(2π) B_t / sqrt(t) E^*[Z_+] 로 t → 0일 때 수렴합니다.
• 브라운 운동 구성요소가 존재하면 점프 기여는 o(sqrt(t)) 이고 Leading ATM 거동은 가우시안 부분에 의해 지배되어 보편적인 sqrt(t) 스케일링을 낳습니다.
• 공유-측정 변환은 안정 도메인과 중심 상수의 유한성을 보존하므로 극한 Z 및 입력은 원래의 Lévy 측정 near zero에서 나옵니다.
• Lévy 밀도에 로그 보정 slowly varying 항이 존재하는 경우 수렴 속도 (t / log(1/t))^{1/alpha} 를 나타내는 명시적 모델이 제공됩니다.
• 섹션 4에서는 서로 다른 느린 변동 보정(modifiers)이 기존의 t^{1/alpha} 스케일링을 넘어서는 새로운 1차 속도를 만들어내는 방법을 보여줍니다.