[논문 리뷰] Atiyah classes of Lie bialgebras

Wei Hong|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 06.

Advanced Topics in Algebra인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Lie 대수의 구조 $\pi$와 $\pi^*$를 사용하여 Lie 대열에 대한 Atiyah 클래스와 첫 번째 스칼라 Atiyah 클래스의 새로운 기술을 제안한다. Atiyah 클래스가 0이 되는 것은 공호모로지 클래스 $[\gamma]$가 수반 작용에 의해 유도된 사상의 핵에 속해 있을 때이고, 이는 $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$에서 $\mathfrak{g}=sb(n,\mathbb{C})$인 경우 Atiyah 클래스가 0이 아니라는 것을 보여주며, 이는 $\mathfrak{g}=su(n)$인 경우와 대조된다.

ABSTRACT

The Atiyah class was originally introduced by M.F. Atiyah. It has many developments in recent years. One important case is the Atiyah classes of Lie algebra pairs. In this paper, we study the Atiyah class of the Lie algebra pair associated with a Lie bialgebra $(g,g^*)$. A simple description of the Atiyah class and the first scalar Atiyah class is given by the Lie algebra structures on $g$ and $g^*$. As its application, the Atiyah classes for some special cases are investigated.

연구 동기 및 목표

• 기저가 되는 Lie 대수의 구조를 활용하여 Lie 대열에 대한 Atiyah 클래스와 첫 번째 스칼라 Atiyah 클래스의 간단한 대수적 기술을 제공하는 것.
• 수반 작용에 의해 유도된 사상 $F_*$에 기반한 호모로지 데이터를 통해 Atiyah 클래스의 0이 되는 조건을 조사하는 것.
• 특히 $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$에 대해 Manin 삼중체의 구조를 고려하여, Atiyah 클래스가 0이 되는지 여부를 분석하는 것.
• 첫 번째 스칼라 Atiyah 클래스 $c_1(E)$가 0이 되는 기하학적 및 대수적 조건을 명확히 하고, 특정 원소 $v \in \mathfrak{g}$의 존재와 연결하는 것.

제안 방법

• Lie 쌍 $(L = \mathfrak{g} \bowtie \mathfrak{g}^*, A = \mathfrak{g}, E = \mathfrak{g}^*)$ 에 대해, $A$-작용을 확장하는 $L$-접속의 곡률을 사용하여 Atiyah 클래스 $\alpha_E$를 정의한다.
• 사상 $F: \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \otimes \text{End}(\mathfrak{g}^*)$ 를 $F(x \otimes y) = x \otimes (-\text{ad}^*_{y})$ 로 정의하고, 이로부터 호모로지 상에 유도된 사상 $F_*$ 를 도입한다.
• $\lambda \in \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g} \otimes \text{End}(\mathfrak{g}^*)$ 를 $\lambda(x, \xi) = \text{ad}^*_{\text{ad}^*_\xi(x)}$ 로 정의하고, $\lambda = -F \circ \gamma$ 를 보인다.
• 공호모로지 클래스 $[\lambda] = -F_*[\gamma]$ 를 사용하여 Atiyah 클래스 $\alpha_E = [\lambda]$ 를 특성화한다.
• 모듈라르 벡터 $\kappa \in \mathfrak{g}^*$ 를 $\kappa(x) = \text{tr}(\text{ad}_x)$ 로 정의하고, $\imath_\kappa \gamma$ 를 사용하여 첫 번째 스칼라 Atiyah 클래스를 표현한다.
• 공식 $c_1(E) = -\frac{\sqrt{-1}}{2\pi} [\imath_\kappa \gamma]$ 를 적용하고, $\text{ad}_\kappa^* = \text{ad}_v$ 를 만족하는 어떤 $v \in \mathfrak{g}$ 가 존재할 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lie 대열 $(\mathfrak{g}, \mathfrak{g}^*)$ 와 관련된 Atiyah 클래스 $\alpha_E$ 는 언제 0이 되는가?
• RQ2 Atiyah 클래스 $c_1(E)$ 의 정확한 대수적 표현은 Lie 대열 코사이클 $\gamma$ 와 모듈라르 벡터 $\kappa$ 를 통해 어떻게 기술되는가?
• RQ3 Manin 삼중체 $(\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C}), \mathfrak{su}(n), \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C}))$ 에서 Atiyah 클래스는 0이 되는가?
• RQ4 Lie 대수의 원소 $v \in \mathfrak{g}$ 가 존재하여 $\text{ad}_\kappa^* = \text{ad}_v$ 가 성립하는가? 특히 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C})$ 인 경우에 대해.
• RQ5 $\kappa + v$ 의 조르당 분해는 무엇이며, Atiyah 클래스의 0 여부에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• Atiyah 클래스 $\alpha_E$ 는 $F: \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \otimes \text{End}(\mathfrak{g}^*)$ 에 의해 유도된 사상 $F_*$ 의 핵에 공호모로지 클래스 $[\gamma]$ 가 속해 있을 때이고, 그때에만 0이 된다.
• 첫 번째 스칼라 Atiyah 클래스는 $c_1(E) = -\frac{\sqrt{-1}}{2\pi} [\imath_\kappa \gamma]$ 로 주어지며, 여기서 $\imath_\kappa \gamma$ 는 모듈라르 벡터 $\kappa$ 와 코사이클 $\gamma$ 의 수축이다.
• Lie 대열 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C})$, $\mathfrak{g}^* = \mathfrak{su}(n)$ 에서 모듈라르 벡터 $\kappa$ 는 0이 아니며, 복소화된 대각행렬 $\sqrt{-1}\mathfrak{t}$ 에 속해 있다.
• 삼중체 $(L = \mathfrak{sl}(n,\mathbb{C}), \mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C}), \mathfrak{g}^* = \mathfrak{su}(n))$ 에서 Atiyah 클래스 $\alpha_E$ 는 0이 아니며, $\text{ad}_{\kappa + v} = 0$ 이라고 가정하면 $\kappa = 0$ 이 되어 Lemma 3.11 와 모순됨을 통해 반증된다.
• 첫 번째 스칼라 Atiyah 클래스 $c_1(E)$ 는 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C})$ 에서 0이 아니며, $\text{ad}_\kappa^* = \text{ad}_v$ 를 만족하는 어떤 $v \in \mathfrak{g}$ 도 존재하지 않는다. 왜냐하면 $\kappa \in \sqrt{-1}\mathfrak{t}$ 이고, $\text{ad}_\kappa^*$ 는 반단순적이지만 $v \in \mathfrak{n}_+$ 이면 $\text{ad}_v$ 는 비정규화 가능하기 때문이다.
• 반대로, $\mathfrak{g} = \mathfrak{su}(n)$ 인 경우 Atiyah 클래스는 0이 되며, 예제 3.9 에서 보여지듯이 $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ 의 두 쌍대 실수 형태 사이에서 Atiyah 클래스 행동에 근본적인 비대칭성이 있음을 나타낸다.