[논문 리뷰] Attractors for singularly perturbed hyperbolic equations on unbounded domains

Martino Prizzi, Krzysztof P. Rybakowski|ArXiv.org|2007. 03. 21.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비정상적인 섭동 히퍼볼릭 방정식의 전역 초구를 상한 연속성으로 보장하며, 헤일과 라우젤의 결과를 비틀림 성장 비선형성, 무한도 영역, 그리고 매끄럽지 않은 계수를 允허함으로써 확장한다. ε → 0일 때, H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω)에서의 초구 𝒜_ε가 한계 파라볼릭 방정식의 초구 𝒜₀로 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

For an arbitrary unbounded domain $Ω\subset\R^3$ and for $\eps>0$, we consider the damped hyperbolic equations \leqno{(H_\eps)} \eps u_{tt}+ u_t+β(x)u- \sum_{ij}(a_{ij}(x) u_{x_j})_{x_i}&=f(x,u),\quad x\in Ω, t\in o0,\infty.., u(x,t)&=0,\quad x\in \partial Ω, t\in o0,\infty... and their singular limit as $\eps o0$, i.e. the parabolic equation \leqno{(P)} u_t+β(x)u- \sum_{ij}(a_{ij}(x)u_{x_j})_{x_i}&=f(x,u),\quad x\in Ω, t\in o0,\infty.., u(x,t)&=0,\quad x\in \partial Ω, t\in o0,\infty... Under suitable assumptions, $(H_\eps)$ possesses a compact global attractor $\Cal A_\eps$ in the phase space $H^1_0(Ω) imes L^2(Ω)$, while $(P)$ possesses a compact global attractor $\widetilde{\Cal A_0}$ in the phase space $H^1_0(Ω)$, which can be embedded into a compact set ${\Cal A_0}\subset H^1_0(Ω) imes L^2(Ω)$. We show that, as $\eps o0$, the family $({\Cal A_\eps})_{\eps\in[0,\infty[}$ is upper semicontinuous with respect to the topology of $H^1_0(Ω) imes H^{-1}(Ω)$. We thus extend a well known result by Hale and Raugel in three directions: first, we allow $f$ to have critical growth; second, we let $Ω$ be unbounded; last, we do not make any smoothness assumption on $\partialΩ$, $β(\cdot)$, $a_{ij}(\cdot)$ and $f(\cdot,u)$.

연구 동기 및 목표

• 헤일과 라우젤의 초구 상한 연속성 결과를 무한도 영역으로 확장하기 위해.
• 비선형 항 f(x,u)가 임계 성장성을 갖는 것으로 허용하여, 단지 초임계 성장성 이외의 경우를 포함하기 위해.
• 영역 경계 ∂Ω, 계수 β(x), a_ij(x), 및 f(x,u)에 대한 매끄러움 가정을 제거하기 위해.
• H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 위상에서의 초구 수렴을 확립하기 위해, H¹₀(Ω) × L²(Ω) 위상에서의 수렴 이외의 경우를 포함하기 위해.
• ε = 0에서의 가족 (𝒜_ε)ε∈[0,∞[의 상한 연속성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 무한도 영역 Ω ⊂ ℝ³에서 εu_tt + u_t + β(x)u - ∑(a_ij(x)u_xj)_xi = f(x,u)의 감쇠 히퍼볼릭 방정식을 분석한다.
• ε → 0으로 갈 때의 비정상적 극한을 고려하여, 파라볼릭 방정식 u_t + β(x)u - ∑(a_ij(x)u_xj)_xi = f(x,u)로 이어진다.
• H¹₀(Ω) 및 H⁻¹(Ω)에서의 해석적 힐버트 공간에서의 약수렴과 보간을 기반으로 한 컴팩턴스 추론을 사용한다.
• 에너지 추정과 약수렴을 통한 모순 추론을 통해, 유한 시간 간격에서 H¹₀(Ω)에서의 강수렴을 보인다.
• H₀와 H⁻¹ 사이의 보간을 통해, H₀에서의 수렴을 H⁻α로 강화한다 (α ∈ (0,1]).
• ε ∈ (0,ε₀]에 대해 독립적인 𝒜_ε의 균일한 유계성으로, 목표 위상에서의 전결합성 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정상적인 섭동 히퍼볼릭 방정식의 전역 초구 𝒜_ε가 무한도 영역에서 ε → 0일 때 상한 연속성을 유지하는가?
• RQ2 f(x,u)가 임계 성장을 갖는 경우, 상한 연속성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ3 ∂Ω 및 계수 β(x), a_ij(x), f(x,u)가 매끄럽지 않은 경우에도 상한 연속성이 유지되는가?
• RQ4 H¹₀(Ω) × L²(Ω) 위상 외에 H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 위상에서의 수렴을 확립할 수 있는가?
• RQ5 작은 ε > 0에 대해 무한도 영역에서의 초구 𝒜_ε의 정규성 및 컴팩턴스 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 각 ε > 0에 대해, 히퍼볼릭 방정식 (H_ε)는 위상 공간 H¹₀(Ω) × L²(Ω)에서 컴팩트 전역 초구 𝒜_ε를 갖는다.
• 한계 파라볼릭 방정식 (P)는 H¹₀(Ω)에서 컴팩트 전역 초구 𝒜₀를 갖으며, 이는 H¹₀(Ω) × L²(Ω)로 통합될 수 있다.
• ε = 0에서의 가족 (𝒜_ε)ε∈[0,∞[은 H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 위상에서 상한 연속성이다.
• 수렴은 유한 시간 간격에서 균일하며, H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 노름에서 성립한다.
• 𝒜_ε에 대한 균일한 유계성이 ε에 독립적으로 확립되어, 모순 추론이 가능해진다.
• ∂Ω, β(x), a_ij(x), 또는 f(x,u)의 매끄러움을 요구하지 않으며, f(x,u)의 임계 성장도 허용한다.