[논문 리뷰] Aubry-Mather and weak KAM theories for contact Hamiltonian systems

Kaizhi Wang, Lin Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 17.

Quantum chaos and dynamical systems인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 $T^*M \times \mathbb{R}$에서 토넬리 조건을 만족하는 컨택트 해밀토니안 시스템에 대해 후방 약한 케일러-미라르테스 해의 유일성을 확립하고, 최대 전방 약한 케일러-미라르테스 해의 존재를 증명한다. 아우브리 집합을 두 개의 레전드리안 가짜그래프의 교차로 특성화하며, 아우브리 집합에서 그 상(images)으로의 사영이 비-립시츠임을 보이고, 최근 문헌의 방법을 활용해 보조 함수(barrier functions)를 도입하여 보정된 곡선(calibrated curves)의 성질을 분석한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the study of Aubry-Mather and weak KAM theories for contact Hamiltonian systems with Hamiltonians $H(x,u,p)$ defined on $T^*M imes\R$, satisfying Tonelli conditions with respect to $p$ and $0 0$, where $M$ is a connected, closed and smooth manifold. First, we show the uniqueness of the backward weak KAM solutions of the corresponding Hamilton-Jacobi equation. Using the unique backward weak KAM solution $u_-$, we prove the existence of the maximal forward weak KAM solution $u_+$. Next, we analyse Aubry set for the contact Hamiltonian system showing that it is the intersection of two Legendrian pseudographs $G_{u_-}$ and $G_{u_+}$, and that the projection $\pi:T^*M imes \R o M$ induces a bi-Lipschitz homeomorphism $\pi|_{ ilde{\mathcal{A}}}$ from Aubry set $ ilde{\mathcal{A}}$ onto the projected Aubry set $\mathcal{A}$. At last, we introduce the notion of barrier functions and study their interesting properties along calibrated curves. Our analysis is based on a recent method by \cite{WWY,WWY1}.

연구 동기 및 목표

• 컨택트 해밀토니안 시스템에 대해 $T^*M \times \mathbb{R}$에서 토넬리 조건을 만족하는 후방 약한 케일러-미라르테스 해의 유일성을 확립한다.
• 유일한 후방 해를 기반으로 최대 전방 약한 케일러-미라르테스 해의 존재를 증명한다.
• 아우브리 집합을 후방 및 전방 해에 관련된 두 개의 레전드리안 가짜그래프의 교차로 특성화한다.
• 사영 $\pi: T^*M \times \mathbb{R} \to M$를 통해 아우브리 집합의 기하학적 및 위상구조를 분석하여, 그 사영이 비-립시츠 호메오모르피즘임을 보인다.
• 컨택트 해밀토니안 시스템의 맥락에서 보정된 곡선을 따라 보조 함수를 도입하고 그 성질을 연구한다.

제안 방법

• 최근 문헌 \cite{WWY,WWY1}의 방법을 활용하여 컨택트 해밀토니안 시스템의 약한 케일러-미라르테스 해를 분석한다.
• 해밀토니안 $H$가 $p$에 대해 토넬리 유형의 정규성과 볼록성 조건을 만족함을 가정하여 후방 약한 케일러-미라르테스 해 $u_-$의 유일성을 증명한다.
• 유일한 후방 해 $u_-$와 볼록성 해의 성질을 활용하여 최대 전방 약한 케일러-미라르테스 해 $u_+$를 구성한다.
• 보정된 곡선의 구조를 활용하여 아우브리 집합 $\tilde{\mathcal{A}}$를 레전드리안 가짜그래프 $G_{u_-}$와 $G_{u_+}$의 교차로 정의한다.
• 거리 및 기하학적 추론을 통해 아우브리 집합에서의 사영 $\pi|_{\tilde{\mathcal{A}}}$가 비-립시츠 성질을 갖는다는 것을 확립한다.
• 보조 함수를 도입하고, 보정된 곡선을 따라 그 행동을 분석하여 컨택트 설정에서의 단조성 및 비교 성질을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컨택트 해밀토니안 시스템이 $T^*M \times \mathbb{R}$에서 토넬리 조건을 만족할 때, 후방 약한 케일러-미라르테스 해는 유일한가?
• RQ2 유일한 후방 해로부터 컨택트 설정에서 최대 전방 약한 케일러-미라르테스 해를 구성할 수 있는가?
• RQ3 컨택트 해밀토니안 프레임워크에서 아우브리 집합은 레전드리안 가짜그래프의 관점에서 어떻게 기하학적으로 특성화되는가?
• RQ4 아우브리 집합과 그 $M$로의 사영 사이의 위상적 관계는 무엇인가?
• RQ5 컨택트 해밀토니안 시스템에서 보정된 곡선을 따라 보조 함수는 어떤 성질을 갖는가?

주요 결과

• 토넬리 조건을 만족하는 컨택트 해밀토니안 시스템에 대해 $p$에 대해 후방 약한 케일러-미라르테스 해 $u_-$는 유일하게 결정된다.
• 최대 전방 약한 케일러-미라르테스 해 $u_+$는 존재하며, 유일한 후방 해 $u_-$로부터 구성된다.
• 아우브리 집합 $\tilde{\mathcal{A}}$는 정확히 레전드리안 가짜그래프 $G_{u_-}$와 $G_{u_+}$의 교차로 표현되며, 이를 통해 기하학적 특성화가 이루어진다.
• 아우브리 집합에서의 사영 $\pi|_{\tilde{\mathcal{A}}}$는 아우브리 집합의 사영 $\mathcal{A} \subset M$로의 비-립시츠 호메오모르피즘으로서 성립한다.
• 보조 함수가 도입되었으며, 컨택트 설정에서 보정된 곡선을 따라 단조성 및 비교 성질을 만족함이 입증되었다.
• 최근 문헌 \cite{WWY,WWY1}의 방법을 활용하여, 컨택트 해밀토니안 프레임워크에서 약한 케일러-미라르테스 이론의 일관성이 확인되었다.