[논문 리뷰] Augmentations and immersed Lagrangian fillings

Yu Pan, Dan Rutherford|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 29.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 레지오드리안 링크의 $\r$-중복 분할 증명이 $J^1\mathbb{R}$ 또는 $J^1S^1$에서 정의된 경우, $\r \neq 1$일 때, 모스 복합체 가족과 증명의 함의성 사이의 함의적 대응을 통해 삽입된 정확한 라그랑주 부면으로 유도된 증명으로서 실현 가능하다고 보여준다. 주요 결과는 삽입된 부면을 통한 모든 이러한 증명의 완전한 실현이며, 이는 고전적인 임bedding 경우를 일반화하고 삽입된 설정에서 증명에서 부면으로의 사상의 전사성에 관한 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

For a Legendrian link $Λ\subset J^1M$ with $M = \mathbb{R}$ or $S^1$, immersed exact Lagrangian fillings $L \subset \mbox{Symp}(J^1M) \cong T^*(\mathbb{R}_{>0} imes M)$ of $Λ$ can be lifted to conical Legendrian fillings $Σ\subset J^1(\mathbb{R}_{>0} imes M)$ of $Λ$. When $Σ$ is embedded, using the version of functoriality for Legendrian contact homology (LCH) from [30], for each augmentation $α: \mathcal{A}(Σ) ightarrow \mathbb{Z}/2$ of the LCH algebra of $Σ$, there is an induced augmentation $ε_{(Σ,α)}: \mathcal{A}(Λ) ightarrow \mathbb{Z}/2$. With $Σ$ fixed, the set of homotopy classes of all such induced augmentations, $I_Σ\subset \mathit{Aug}(Λ)/{\sim}$, is a Legendrian isotopy invariant of $Σ$. We establish methods to compute $I_Σ$ based on the correspondence between Morse complex families and augmentations. This includes developing a functoriality for the cellular DGA from [31] with respect to Legendrian cobordisms, and proving its equivalence to the functoriality for LCH. For arbitrary $n \geq 1$, we give examples of Legendrian torus knots with $2n$ distinct conical Legendrian fillings distinguished by their induced augmentation sets. We prove that when $ρ eq 1$ and $Λ\subset J^1\mathbb{R}$ every $ρ$-graded augmentation of $Λ$ can be induced in this manner by an immersed Lagrangian filling. Alternatively, this is viewed as a computation of cobordism classes for an appropriate notion of $ρ$-graded augmented Legendrian cobordism.

연구 동기 및 목표

• 레지오드리안 링크에서 삽입된 정확한 라그랑주 부면으로부터 기인하는 $\r$-중복 분할 증명의 종류를 규명하는 것.
• 콘피컬 레지오드리안 부면을 통한 레지오드리안 접촉 homology(LCH)의 함의성의 확장: 삽입된 라그랑주 코보르디즘으로의 일반화.
• 모스 복합체 가족과 증명 사이의 대응을 구축하여, 유도된 증명 집합을 계산하는 데 사용하는 것.
• 특히 비가역적 또는 특이한 부면인 경우, 모든 증명이 삽입된 부면을 통해 실현 가능한지 여부를 해결하는 것.
• 레지오드리안 토러스 뭉치와 기타 예시에 대해 삽입된 부면으로 유도된 증명의 완전한 분류를 제공하는 것.

제안 방법

• 삽입된 정확한 라그랑주 부면 $L \subset \mathrm{Symp}(J^1M)$을 콘형 레지오드리안 코보르디즘 $\Sigma \subset J^1(\mathbb{R}_{>0} \times M)$로 올리며, $L$의 이중점은 $\Sigma$의 리브 현상으로 변환된다.
• 레지오드리안 코보르디즘에 대해 [33]의 셀러스 DGA의 함의성에 기반하여 DGA 사상 $f_\Sigma: \mathcal{A}(\Lambda_+) \to \mathcal{A}(\Sigma)$와 포함사상 $i_\Sigma: \mathcal{A}(\Lambda_-) \to \mathcal{A}(\Sigma)$를 정의한다.
• 각 콘형 레지오드리안 부면 $\Sigma$의 증명 $\alpha: \mathcal{A}(\Sigma) \to \mathbb{Z}/2$에 대해 유도된 증명 $\epsilon_{(\Sigma,\alpha)} = \alpha \circ f_\Sigma$를 정의한다.
• 셀러스 DGA의 함의성과 표준 레지오드리안 접촉 homology(LCH)의 함의성 사이의 대응을 통해, 이 둘의 등가성을 확립한다.
• 모스 복합체 가족(MCFs)을 사용하여, $\Sigma$의 레지오드리안 동치류에 대한 유도된 증명 집합 $I_\Sigma \subset \mathrm{Aug}(\Lambda)/{\sim}$를 계산하며, 이는 $\Sigma$의 레지오드리안 동치류 불변량이다.
• 레지오드리안 이sov의 불변성을 확인하기 위해 리드미어 이동, 콩기 탄성 이동, 핀치 이동을 적용하여 DGA의 단어를 단순화하고, 교차점 수에 대한 재귀적 귀납법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레지오드리안 링크 $\Lambda \subset J^1\mathbb{R}$의 $\r$-중복 분할 증명 중 삽입된 정확한 라그랑주 부면으로부터 기인하는 것은 무엇인가요?
• RQ2 $\r \neq 1$일 때, 삽입된 라그랑주 부면에서 유도된 증명으로의 사상이 모든 $\r$-중복 분할 증명에 대해 전사적인가요?
• RQ3 모든 $\r$-중복 분할 증명은 호환 가능한 마스로프 포텐셜과 증명을 갖는 콘형 레지오드리안 부면을 통해 실현 가능한가요?
• RQ4 모스 복합체 가족은 셀러스 DGA의 함의성과 유도된 증명 집합과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ5 고정된 콘형 레지오드리안 부면 $\Sigma$에 대해 유도된 증명 집합 $I_\Sigma$의 구조는 어떻게 되나요?

주요 결과

• 모든 $\r$-중복 분할 증명 $\epsilon: \mathcal{A}(\Lambda) \to \mathbb{Z}/2$는 $\r \neq 1$일 때, 어떤 콘형 레지오드리안 부면 $\Sigma$와 $\mathcal{A}(\Sigma)$의 증명 $\alpha$에 대해 $\epsilon_{(\Sigma,\alpha)} = \alpha \circ f_\Sigma$의 형태로 실현 가능하다.
• $\r$가 짝수일 경우, 주어진 증명을 실현하는 콘형 레지오드리안 부면 $\Sigma$는 항상 가역적일 수 있다.
• $\r = 1$일 경우, 모든 $1$-중복 분할 증명은 표준 레지오드리안 언컷 $U$를 기반으로 하는 콘형 레지오드리안 코보르디즘 $\Sigma: U \to \Lambda$와 함께, $\mathcal{A}(\Sigma)$의 $1$-중복 분할 증명을 통해 실현 가능하다. 여기서 $\mathrm{tb}(U) = -1$이다.
• $\Sigma$의 레지오드리안 동치류 불변량인 유도된 증명 집합 $I_\Sigma$는 레지오드리안 동치류 불변량이며, 레지오드리안 토러스 뭉치의 경우 최대 $2n$개의 서로 다른 콘형 레지오드리안 부면을 식별할 수 있다.
• 모든 DGA 단어를 표준 형태로 단순화할 수 있는 이동 체계(제1, 2, 3형 리드미어 이동, 콩기 탄성 이동, 핀치 이동 포함)를 구성하여, 레지오드리안 동치류 불변성에 대한 유도된 증명 집합의 불변성을 증명한다.
• 모스 복합체 가족과 증명 사이의 대응은 $I_\Sigma$를 결정하는 계산 프레임워크를 제공하며, 이 프레임워크는 삽입된 코보르디즘에 대한 표준 LCH 함의성과 동치이다.