[논문 리뷰] Augmented Lagrangian for treatment of hanging nodes in hexahedral meshes

Saumik Dana|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 10.

Contact Mechanics and Variational Inequalities참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 정육면체 유한요소 메esh에서 떨어진 노드(hanging nodes)를 처리하기 위해 보완된 라그랑주 승수 방법을 제안하며, 경계를 넘어서도 제약 조건의 정확도를 해치지 않으면서도 극적으로 메쉬를 굵게 다룰 수 있도록 한다. 반복적으로 라그랑주 승수를 갱신함으로써 페널티 방법에서 발생하는 악조건 문제를 피하고, 페널티 계수의 선택에 관계없이 안정성과 정확성을 유지한다.

ABSTRACT

The surge of activity in the resolution of fine scale features in the field of earth sciences over the past decade necessitates the development of robust yet simple algorithms that can tackle the various drawbacks of in silico models developed hitherto. One such drawback is that of the restrictive computational cost of finite element method in rendering resolutions to the fine scale features, while at the same time keeping the domain being modeled sufficiently large. We propose the use of the augmented lagrangian method commonly used in the treatment of hanging nodes in contact mechanics in tackling the drawback. An interface is introduced in a typical finite element mesh across which an aggressive coarsening of the finite elements is possible. The method is based upon minimizing an augmented potential energy which factors in the constraint that exists at the hanging nodes on that interface. This allows for a significant reduction in the number of finite elements comprising the mesh with concomitant reduction in the computational expense.

연구 동기 및 목표

• 큰 영역에서 미세 구조의 지역기계적 특징을 모델링할 때 균일하게 미세한 메쉬의 계산 비효율성을 해결하기 위해.
• 이전 방법들이 유동 메쉬보다 균일하게 더 굵은 기계 메쉬가 필요로 하는 제약을 극복하기 위해.
• 정육면체 요소에서 떨어진 노드를 允허함으로써 경계를 넘어서 임의의 메쉬 정밀화를 가능하게 하기 위해.
• 시스템의 자유도를 증가시키지 않고도 떨어진 노드 경계에서 제약 조건을 안정적이고 정확하게 이행하는 방법을 개발하기 위해.

제안 방법

• 떨어진 노드에서 기하 제약 조건을 만족하는 보완된 잠재에너지 기능의 최소화 문제로 문제를 수립하기 위해.
• 반복적으로 갱신되는 라그랑주 승수를 통해 제약 조건을 이행하는 보완된 라그랑주 방법을 사용하여, 이를 독립적인 자유도로 풀 필요 없이 처리하기 위해.
• 제약 위반의 제곱에 비례하는 페널티 항을 도입하여 정확한 제약 조건 이행으로 수렴하도록 보장하기 위해.
• 비압축 정육면체 요소에서 기울기 계산과 제약 조건 이행을 위해 물리적 좌표계에서 기준 요소 좌표계로의 변환을 적용하기 위해.
• 제약 행렬의 영공간을 결정하고 정육면체 요소의 면 방정식을 정점 좌표에서 계산하기 위해 SVD를 사용하기 위해.
• 등가좌표 변환의 야코비안의 역행렬을 사용하여 물리 공간에서 면 방정식의 기울기를 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보완된 라그랑주 방법이 정육면체 유한요소 메쉬에서 떨어진 노드를 효과적으로 처리하여 적응 메쉬 정밀화를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 떨어진 노드 제약 조건에서 보완된 라그랑주 형식은 페널티 방법과 표준 라그랑주 방법에 비해 안정성과 정확성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 페널티 계수의 값에 관계없이 해의 정확성과 조건수를 유지할 수 있는가?
• RQ4 시스템에 추가 자유도를 도입하지 않고도 떨어진 노드에서 제약 조건을 이행할 수 있는가?
• RQ5 비압축 정육면체 요소에서 떨어진 노드 경계의 기하 제약 조건을 정확하게 표현하고 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 보완된 라그랑주 형식은 자유도 수를 늘리지 않으면서도 정확한 제약 조건 이행을 가능하게 하며, 이는 표준 라그랑주 방법과의 대조적 특징이다.
• 페널티 계수에 관계없이 조건이 안정적이며, 순수 페널티 형식에서 흔히 발생하는 악조건 문제를 피한다.
• 라그랑주 승수는 페널티 계수의 영향 없이 점점 수렴값에 도달하여 강력한 수렴성을 보장한다.
• 이 방법은 경계를 넘어서 극적으로 메쉬를 굵게 다룰 수 있어 요소 수와 계산 비용을 크게 줄일 수 있다.
• SVD와 좌표 변환을 통해 유도된 선형삼차면 방정식을 사용하여 떨어진 노드의 기하 제약 조건을 정확하게 표현한다.
• 등가좌표 변환의 야코비안의 역행렬을 사용하여 물리 공간에서 기울기를 계산함으로써 비압축 정육면체 요소를 지원한다.