[논문 리뷰] Augmented virtual double categories

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수평 목표가 비어 있는 셀을 允許하는 가상 이중 범주를 확장한 보강된 가상 이중 범주를 도입한다. 이러한 구조는 수평 단위를 통해 '국소적으로 작은 대상'의 개념을 자연스럽게 지원하며, 단위를 갖춘 보강된 가상 이중 범주는 단위를 갖춘 가상 이중 범주와 카테고리적으로 동치임을 보여, 형식적 범주론에서 더 간결한 증명과 광범위한 적용 가능성을 제공한다.

ABSTRACT

In this article the notion of virtual double category (also known as fc-multicategory) is extended as follows. While cells in a virtual double category classically have a horizontal multi-source and single horizontal target, the notion of augmented virtual double category introduced here extends the latter notion by including cells with empty horizontal target as well. Any augmented virtual double category comes with a built-in notion of "locally small object" and we describe advantages of using augmented virtual double categories as a setting for formal category rather than 2-categories, which are classically equipped with a notion of "admissible object" by means of a yoneda structure in the sense of Street and Walters. An object is locally small precisely if it admits a horizontal unit, and we show that the notions of augmented virtual double category and virtual double category coincide in the presence of all horizontal units. Without assuming the existence of horizontal units we show that most of the basic theory for virtual double categories, such as that of restriction and composition of horizontal morphisms, extends to augmented virtual double categories. We introduce and study in augmented virtual double categories the notion of "pointwise" composition of horizontal morphisms, which formalises the classical composition of profunctors given by the coend formula.

연구 동기 및 목표

• 수평 목표가 비어 있는 셀을 允許함으로써 가상 이중 범주의 이론을 확장하고, 보강된 가상 이중 범주의 새로운 구조를 도입한다.
• 보강된 가상 이중 범주에서 국소적으로 작은 대상이 수평 단위를 갖는 대상과 정확히 일치함을 증명한다.
• 가상 이중 범주의 기본 이론—예를 들어 수평 사상의 제한과 합성—이 보강된 설정으로까지 확장됨을 보여준다.
• 공종 유사 공식을 사용하여 수평 사상의 '지점별' 합성을 형식화하고, 프로파일러 합성의 일반화를 이룬다.
• 단위를 갖춘 보강된 가상 이중 범주가 단위를 갖춘 가상 이중 범주와 카테고리적으로 동치임을 증명함으로써, 두 기존 프레임워크를 통합한다.

제안 방법

• 가상 이중 범주의 일반화로, 수평 목표가 비어 있는 셀을 포함하는 보강된 가상 이중 범주를 정의한다.
• 수평 단위 셀을 갖는 대상을 '국소적으로 작은 대상'으로 정의하고, 이를 표현 가능성과 요네다 구조와 연결한다.
• 수평 사상의 제한과 합성 이론을 보강된 설정으로 확장하여 핵심 성질을 유지한다.
• 공종 유사 보편 성질을 만족하는 보편 셀을 통해 '지점별' 수평 합성을 형식화한다.
• 단위를 갖춘 가상 이중 범주를 그 보강된 형태로 보내는 엄격한 2-함자 N: VirtDblCatu → AugVirtDblCatu 를 구성한다.
• N 과 잊혀진 함자 U: AugVirtDblCat → VirtDblCat 의 합성과 항등함자가 자연스럽게 동치임을 증명하여 2-카테고리적 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가상 이중 범주의 개념은 어떻게 수평 목표가 비어 있는 셀을 포함하도록 확장될 수 있는가?
• RQ2 보강된 가상 이중 범주 맥락에서 수평 단위를 갖는 대상의 카테고리적 의미는 무엇인가?
• RQ3 가상 이중 범주의 기본 이론—예를 들어 제한과 합성—은 보강된 가상 이중 범주로까지 어느 정도까지 확장되는가?
• RQ4 보강된 가상 이중 범주에서 수평 사상의 '지점별' 합성은 어떻게 공종 유사 공식을 통해 고전적 프로파일러 합성의 일반화로 형식화되는가?
• RQ5 단위를 갖춘 보강된 가상 이중 범주와 단위를 갖춘 가상 이중 범주 사이의 관계는 무엇이며, 이들은 카테고리적으로 동치인가?

주요 결과

• 보강된 가상 이중 범주는 수평 목표가 비어 있는 셀을 포함함으로써 가상 이중 범주를 확장하며, 이는 수직 사상들이 2-범주를 이룰 수 있도록 더 자연스러운 처리를 가능하게 한다.
• 대상이 국소적으로 작은 것은 그 대상이 수평 단위를 갖는 것과 정확히 동치이며, 이는 국소적 작소성의 직접적인 카테고리적 특성화를 제공한다.
• 수평 사상의 제한과 합성 이론은 수평 단위를 가정하지 않더라도 보강된 가상 이중 범주로까지 확장된다.
• 수평 사상의 '지점별' 합성 개념은 보편 셀을 통해 형식화되며, 고전적 프로파일러 합성의 공종 공식을 일반화한다.
• 단위를 갖춘 보강된 가상 이중 범주는 단위를 갖춘 가상 이중 범주와 카테고리적으로 동치이며, 엄격한 2-함자 N: VirtDblCatu → AugVirtDblCatu 가 동치를 제공한다.
• 이 동치는 엄격한 2-함자 N 과 2-자연동형사상 τ: id ≅ N∘U 를 통해 실현되며, 보강된 프레임워크가 고전적 단위 케이스를 포함하고 단순화함을 보여준다.