[논문 리뷰] Autocorrelation functions and ergodicity in diffusion with stochastic resetting

Viktor Stojkoski, Trifce Sandev외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 24.

Diffusion and Search Dynamics참고 문헌 97인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 확산과 확률적 리셋이 있는 시스템에서 자기상관함수를 계산하고 에르고딕성의 성질을 연구하기 위해 새로운 궤적 기반 접근법을 제안한다. 단일 궤적에 대해 전체 기대의 법칙을 적용함으로써, 모멘트와 자기상관함수를 해석적으로 유도하며, 리셋이 평균 기반 관측량(예: 표본 평균)에서는 에르고딕성을 유도하는 반면, 시간 평균 평균 제곱 변위(TAMSD)에서는 에르고딕성을 파괴함을 밝혀낸다. 이는 입자의 산란이 증가하거나 감소하는 것을 분리하는 임계 리셋 비율 r*가 존재함을 시사한다.

ABSTRACT

Diffusion with stochastic resetting is a paradigm of resetting processes. Standard renewal or master equation approach are typically used to study steady state and other transport properties such as average, mean squared displacement etc. What remains less explored is the two time point correlation functions whose evaluation is often daunting since it requires the implementation of the exact time dependent probability density functions of the resetting processes which are unknown for most of the problems. We adopt a different approach that allows us to write a stochastic solution in the level of a single trajectory undergoing resetting. Moments and the autocorrelation functions between any two times along the trajectory can then be computed directly using the laws of total expectation. Estimation of autocorrelation functions turns out to be pivotal for investigating the ergodic properties of various observables for this canonical model. In particular, we investigate two observables (i) sample mean which is widely used in economics and (ii) time-averaged-mean-squared-displacement (TAMSD) which is of acute interest in physics. We find that both diffusion and drift-diffusion processes are ergodic at the mean level unlike their reset-free counterparts. In contrast, resetting renders ergodicity breaking in the TAMSD while both the stochastic processes are ergodic when resetting is absent. We quantify these behaviors with detailed analytical study and corroborate with extensive numerical simulations. The current study provides an important baseline that unifies two different approaches, used ubiquitously in economics and physics, for studying the ergodic properties in diffusion with resetting. We believe that our results can be verified in single particle experimental set-ups and thus have strong implications in the field of resetting.

연구 동기 및 목표

• 정확한 시간에 의존하는 확률 밀도 함수가 일반적으로 알려져 있지 않은 경우, 확률적 리셋이 있는 확산에서 이시간 상관함수를 계산할 수 있는 실용적인 방법을 개발하는 것.
• 경제학에서의 표본 평균과 물리학에서의 TAMSD라는 두 가지 서로 다른 접근법을 통합하여 리셋 시스템의 에르고딕 성질을 분석하는 것.
• 확률적 리셋이 기본적인 확산 및 이동-확산 과정에서 에르고딕성에 어떤 영향을 미치는지 조사하는 것.
• 단일 입자 동역학에서 입자의 산란이 증가하거나 제한되는 영역을 분리하는 데 결정적인 리셋 비율을 규명하는 것.

제안 방법

• 집단 수준의 재시작 형식론에 의존하지 않고, 단일 궤적 수준에서 리셋 라운지에이션 방정정식의 확률적 해를 직접 유도하는 것.
• 단일 궤적의 위치 변수에 대해 전체 기대의 법칙을 적용하여 모멘트와 자기상관함수를 해석적으로 계산하는 것.
• 리셋 사건의 재시작 성질을 활용하여 시간에 의존하는 통계를 리셋 간격에 대한 조건부 기대값으로 표현하는 것.
• 대규모 변동 분석을 통해 비평형 정상 상태로의 회복을 연구하며, β-혼합 계수를 통해 정상 상태 수렴 정도를 정량화하는 것.
• 표본 평균과 TAMSD의 에르고딕성을 평가하기 위해 포아송 리셋을 갖는 단순 확산과 이동-확산 과정에 이 방법을 적용하는 것.
• 수치 시뮬레이션을 통해 분석 결과를 검증하며, 특히 TAMSD와 에르고딕성 파괴 매개변수에 초점을 맞추는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 시간에 의존하는 확률 밀도 함수가 알려져 있지 않은 경우, 확률적 리셋이 있는 확산에서 자기상관함수를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 리셋이 없는 경우 비에르고딕인 과정에서, 확률적 리셋이 표본 평균의 에르고딕성을 복원하는가?
• RQ3 확산 및 이동-확산 과정에서 리셋은 시간 평균 평균 제곱 변위(TAMSD)의 에르고딕성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 단일 입자 추적에서 리셋이 입자의 효과적 산란을 증가시키거나 감소시키는 영역을 분리하는 임계 리셋 비율 r*가 존재하는가?
• RQ5 일반적인 리셋 역학 하에서 표본 평균과 TAMSD의 에르고딕 성질은 어떻게 상호 연관되어 있는가?

주요 결과

• 확률적 리셋은 단순 및 이동-확산 과정 모두에서 표본 평균의 에르고딕성을 유도하며, 리셋이 없는 경우 비에르고딕인 대비 이와는 정반대의 성질을 띤다.
• 리셋이 없는 경우, 확산 및 이동-확산 과정 모두에서 TAMSD는 에르고딕성을 유지하지만, 리셋이 이 관측량에서 에르고딕성 파괴를 유도한다.
• 리셋 비율 r*가 존재하며, r < r*일 경우 리셋이 TAMSD를 증가시키고, r > r*일 경우 TAMSD를 억제함으로써 입자의 산란 동역학에서 전이가 발생함을 시사한다.
• 시스템은 β-혼합 행동을 보이며, β(t) ∼ e^{-(r + μ²/(2σ²))t}로 표현되어 비평형 정상 상태 수렴과 장기적 회복을 확인한다.
• 제안된 궤적 기반 방법은 전체 시간에 의존하는 PDF의 지식이 없어도 자기상관함수를 해석적으로 계산할 수 있으며, 마코프 리셋 과정에 대한 일반적인 프레임워크를 제공한다.
• 분석적 유도 결과와 광범위한 수치 시뮬레이션 결과가 일치하며, 광학 트랩을 이용한 단일 입자 실험에서의 검증 가능성도 뒷받침한다.