[논문 리뷰] Autoduality of compactified Jacobians for curves with plane singularities

D. Arinkin|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 평면 특이점을 가진 정수적 프로젝티브 곡선의 컴팩티피케이션 임계다이어그램에 대해, 임계다이어그램 $J$ 에서의 Poincaré 선다발을 확장하는 $\overline{J} \times \overline{J}$ 위의 유니버설 Cohen-Macaulay 층 $\overline{P}$ 를 구성함으로써 자동쌍대성(auto-duality)을 확립한다. $\overline{P}$ 와 관련된 Fourier-Mukai 변환이 유도 범주 사이의 동치임을 보여, $\overline{J}$ 가 유도적 의미에서 자가쌍대임을 증명한다.

ABSTRACT

Let C be an integral projective curve with planar singularities. Consider its Jacobian J and the compactified Jacobian J'. We construct a flat family P of Cohen-Macaulay sheaves on J' parametrized by J'; over J, the family P is the Poincare line bundle. We prove that the Fourier-Mukai transform given by P is an auto-equivalence of the derived category of J'.

연구 동기 및 목표

• 정수적 프로젝티브 곡선의 평면 특이점을 가진 컴팩티피케이션 임계다이어그램에 대해 유도적 자동쌍대성을 확립하기 위해.
• 임계다이어그램 $J \times \overline{J}$ 에서의 Poincaré 다발을 확장하는 $\overline{J} \times \overline{J}$ 위의 유니버설 코hen-맥컬레이 층의 가족을 구성하기 위해.
• 이 층과 관련된 Fourier-Mukai 변환이 $\overline{J}$ 의 유도 범주 사이의 동치임을 증명하기 위해.
• $\overline{J}$ 가 자기 자신 위의 계수 1의 토르션-프리 층의 모듈리 공간의 연결 성분과 동형임을 보여주기 위해.

제안 방법

• $J \times \overline{J} \cup \overline{J} \times J$ 에서 Poincaré 선다발으로 제한되는 $\overline{J} \times \overline{J}$ 위의 코herent 층 $\overline{P}$ 를 구성하기 위해.
• $\overline{J} \times \overline{J}$ 의 각 인수에 대해 $\overline{P}$ 가 평탄함을 증명하여, $\overline{J}$ 를 매개변수로 하는 층의 가족임을 보장하기 위해.
• $\overline{P}$ 의 유니버설 성질을 이용해 $\overline{J}$ 를 $\overline{J}$ 위의 계수 1의 토르션-프리 층의 모듈리 공간의 연결 성분과 식별하기 위해.
• Fourier-Mukai 변환 $\mathfrak{F}(\mathcal{G}) = Rp_{2,*}(p_1^*\mathcal{G} \otimes \overline{P})$ 를 적용하고, 이가 $D^b(\overline{J})$ 에서의 동치임을 증명하기 위해.
• [5] 및 [14] 의 결과, 특히 $P$ 가 $J \times \overline{J} \cup \overline{J} \times J$ 에서 유니버설 가족으로 확장된다는 사실을 활용하여 $\overline{P}$ 를 구성하기 위해.
• Serre 쌍대성과 Hilbert 다항식의 반연속성을 이용해, 한 점에 지지된 층 $M$ 의 변환 결과가 스카이스커프 층임을 보여, 역사상이 대수적임을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면 특이점을 가진 곡선에 대해, $J \times \overline{J}$ 에서의 Poincaré 선다발이 $\overline{J} \times \overline{J}$ 에서의 유니버설 층으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 이와 같은 확장과 관련된 Fourier-Mukai 변환이 $\overline{J}$ 의 유도 범주 사이의 동치인가?
• RQ3 $\overline{J}$ 는 고전적 임계다이어그램의 자동쌍대성의 일반화로서 유도 범주적 의미에서 자가쌍대성을 갖는가?
• RQ4 $\overline{J}$ 는 자기 자신 위의 계수 1의 토르션-프리 층의 모듈리 공간의 연결 성분과 일치하는가?
• RQ5 $\mathrm{GL}(n)$ 의 Hitchin 분해와 $\overline{J}$ 의 유도 자동쌍대성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $\overline{J} \times \overline{J}$ 위에 $J \times \overline{J} \cup \overline{J} \times J$ 에서의 Poincaré 다발을 확장하는 평탄한 코헨-맥컬레이 층 $\overline{P}$ 의 가족이 구성된다.
• $\overline{P}$ 의 $J \times \overline{J}$ 에 대한 제한은 표준 Poincaré 선다발과 일치하며, $L,F \in J$ 에 대해 다음 공식이 성립한다: $P_{(L,F)} = \det R\Gamma(L \otimes F) \otimes \det R\Gamma(O_C) \otimes \det R\Gamma(L)^{-1} \otimes \det R\Gamma(F)^{-1}$.
• $\overline{P}$ 를 정의하는 Fourier-Mukai 변환 $\mathfrak{F}$ 는 $D^b(\overline{J}) \to D^b(\overline{J})$ 의 유도 범주 사이의 동치이다.
• $F \in \overline{J}$ 를 ${\overline{P}}_F$ 로 보내는 사상 $\rho: \overline{J} \to \mathop{\mathrm{Pic}}\nolimits(\overline{J})^{=}$ 는 $\overline{J}$ 가 $\overline{J}$ 위의 계수 1의 토르션-프리 층의 모듈리 공간의 연결 성분과 일치함을 보여준다.
• $\mathop{\mathrm{Pic}}\nolimits(\overline{J})^{=}$ 에 속하는 모든 $M$ 에 대해 $h^i(\mathfrak{F}(M)) = \delta_{i,g}$ 를 만족할 때, 변환 $\mathfrak{F}(M)$ 는 $\mathcal{O}_{F^\vee}[-g]$ 와 동형임을 보여, 역사상이 대수적임을 증명한다.
• 유니버설 층 $\Psi_{\mathrm{univ}}[g]$ 가 $\mathcal{O}_\Delta \otimes \pi^* \det(\mathfrak{j})$ 와 동형임을 보여, 층이 코헨-맥컬레이임을 확인하고 유도 동치를 뒷받침한다.