[논문 리뷰] Automata and Reduced Words in the Free Group

Thomas Ang, Giovanni Pighizzini외 2명|ArXiv.org|2009. 10. 23.

semigroups and automata theory참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 자유군 내에서의 축약 표현에 대한 형식 언어의 닫힘 성질을 조사하며, 정규 언어는 축약 표현에 대해 닫혀 있음을 보이고, 문맥 자유 언어는 그렇지 않음을 보여준다. 상태 복잡도의 상한과 하한을 설정하고, 정규 언어의 등가 단어 집합이 비정규일 수 있음을 증명하며, 일반화된 축약 표현 형태가 심지어 정규 입력에 대해서도 문맥 자유성을 유지하지 못함을 보인다.

ABSTRACT

We consider some questions about formal languages that arise when inverses of letters, words and languages are defined. The reduced representation of a language over the free monoid is its unique equivalent representation in the free group. We show that the class of regular languages is closed under taking the reduced representation, while the class of context-free languages is not. We also give an upper bound on the state complexity of the reduced representation of a regular language, and prove upper and lower bounds on the length of the shortest reducible string in a regular language. Finally we show that the set of all words which are equivalent to the words in a regular language can be nonregular, and that regular languages are not closed under taking a generalized form of the reduced representation.

연구 동기 및 목표

• 자유군 내에서의 형식 언어 클래스의 축약 표현에 대한 닫힘 성질을 분석하는 것.
• 정규 언어의 축약 표현이 항상 정규인지, 그리고 정규 언어의 모든 등가 단어 집합이 정규인지 결정하는 것.
• 정규 언어에서 가장 짧은 축약 가능한 문자열의 길이에 대한 상한과 하한을 설정하는 것.
• 축약이 임의의 방정식으로 정의되는 일반화된 축약 표현의 행동을 조사하는 것.

제안 방법

• 인접한 역원 쌍 $aa^{-1}$ 를 제거하는 감마 관계 $\vdash$ 를 정의하고, Newman의 보조정리에 의해 그 연속성을 증명하여 각 $w$ 에 대해 유일한 축약된 단어 $r(w)$ 가 존재함을 보장한다.
• 결정성 및 $\epsilon$-NFA 구축을 통해 언어 수용과 축약된 언어 표현을 모델링하고, 상태 복잡도 분석을 수행한다.
• 스택 기반의 기호와 그 역원 간의 비교를 시뮬레이션하여 주어진 언어 $L$ 의 모든 등가 단어를 인식하는 PDA 를 구성한다.
• 정규 언어 $L$ 에 대해 등가 단어 집합 $\mathrm{eq}(L)$ 이 문맥 자유임을 증명하기 위해 축약된 언어 자동화기의 역행과 스택 기반 등가성 검증을 결합한다.
• 자동화 $M_n$ 을 사용하여 정규 언어 내에서 축약 가능한 문자열의 최대 길이를 보여주는 반례를 설계한다.
• 임의의 정의 집합의 방정식을 도입하여 축약 체계를 일반화하고, 그로 인해 유도된 일반화된 축약 표현 $r_g(L)$ 의 닫힘 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 언어의 축약 표현은 항상 정규인가?
• RQ2 정규 언어의 모든 등가 단어 집합이 비정규일 수 있는가?
• RQ3 정규 언어에서 가장 짧은 축약 가능한 문자열의 길이에 대한 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ4 문맥 자유 언어 클래스는 축약 표현에 대해 닫혀 있는가?
• RQ5 축약이 임의의 방정식으로 정의될 경우, 정규 언어의 일반화된 축약 표현은 여전히 문맥 자유인가?

주요 결과

• 정규 언어 클래스는 축약 표현에 대해 닫혀 있으며, 이는 정규 언어의 축약된 형태가 항상 정규임을 의미한다.
• 문맥 자유 언어 클래스는 축약 표현에 대해 닫혀 있지 않으며, 반례를 통해 축약된 언어가 비문맥 자유임을 보였다.
• 정규 언어의 축약 표현의 상태 복잡도에 대한 상한이 확립되었지만, 정확한 값은 입력 자동화기의 구조에 따라 달라진다.
• 정규 언어를 인식하는 $n$-상태 자동화기에서 가장 짧은 축약 가능한 문자열의 길이는 $n^2/2$ 까지 클 수 있으며, 홀수 및 짝수 $n$ 에 대한 명시적 구성이 존재한다.
• 정규 언어 $L$ 의 모든 등가 단어 집합—표기로는 $\mathrm{eq}(L)$—는 비정규일 수 있다. 예를 들어 $\{1,1^{-1}\}$ 에서 $L = \{\epsilon\}$ 이면 $\mathrm{eq}(L)$ 는 균형 잡힌 괄호의 비정규 언어가 된다.
• 임의의 방정식으로 정의된 일반화된 축약 체계에서는 심지어 정규 언어도 일반화된 축약 표현이 문맥 자유가 아니게 될 수 있다. 예를 들어 $L = (abc)^*$ 와 교환 법칙 $ab=ba$, $ac=ca$, $bc=cb$ 를 가질 경우 $r_g(L) = \{x : |x|_a = |x|_b = |x|_c\}$ 가 되며, 이는 비문맥 자유 언어이다.