[논문 리뷰] Automated threshold selection and associated inference uncertainty for univariate extremes

Conor Murphy, Jonathan A. Tawn외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 27.

Market Dynamics and Volatility인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 페아레토 분포(GPD)를 사용하여 단변량 극단가치 분석의 자동 임계값 선택 방법을 제안하며, 임계값 선택 시 발생하는 편향-분산 트레이드오프를 직접적으로 다룬다. 새로운 절차를 도입하여 임계값 선택에서 발생하는 불확실성을 정량화하고 이를 고차량 분석으로 전파함으로써, 시뮬레이션 데이터와 River Nidd 홍수 데이터셋에서 기존 방법보다 향상된 정확도와 강건성을 입증한다.

ABSTRACT

Threshold selection is a fundamental problem in any threshold-based extreme value analysis. While models are asymptotically motivated, selecting an appropriate threshold for finite samples is difficult and highly subjective through standard methods. Inference for high quantiles can also be highly sensitive to the choice of threshold. Too low a threshold choice leads to bias in the fit of the extreme value model, while too high a choice leads to unnecessary additional uncertainty in the estimation of model parameters. We develop a novel methodology for automated threshold selection that directly tackles this bias-variance trade-off. We also develop a method to account for the uncertainty in the threshold estimation and propagate this uncertainty through to high quantile inference. Through a simulation study, we demonstrate the effectiveness of our method for threshold selection and subsequent extreme quantile estimation, relative to the leading existing methods, and show how the method's effectiveness is not sensitive to the tuning parameters. We apply our method to the well-known, troublesome example of the River Nidd dataset.

연구 동기 및 목표

• 낮은 임계값은 편향을 유발하고 높은 임계값은 분산을 증가시키는 극단가치 분석에서 임계값 선택의 핵심 과제를 해결한다.
• 편향과 분산을 균형 잡는 객관적이고 자동화된 방법을 개발하여 기존의 시각적 또는 히우리스틱 접근 방식에 비해 주관성을 줄인다.
• 임계값 선택에서 발생하는 불확실성을 고려하여 복귀 수준 추론까지 전파함으로써 극단 분위수 추정의 신뢰성을 향상시킨다.
• 시뮬레이션 연구와 실제 수문학적 데이터를 활용하여 기존의 자동화된 및 주관적인 임계값 선택 기법들과의 비교를 통해 본 방법의 우수성을 입증한다.
• 독립동일분포(i.i.d.) 데이터를 초월하여 공변량 의존 모델에 적용 가능한 유연한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 편향-분산 트레이드오프 기준을 최소화하는 새로운 자동 임계값 선택 절차를 제안하며, 우도 기반 최적화 프레임워크를 사용한다.
• 임계값 선택의 불확실성을 랜덤 변수로 모델링하고 부트스트래핑 기법을 통해 이를 전파함으로써 전체 불확실성 정량화를 실현한다.
• 파라미터 안정성 플롯을 기반으로 하되, GPD 형태 파라미터 ξ가 더 높은 임계값들에 걸쳐 안정적인 최소 임계값을 정식 추론을 통해 식별함으로써 이를 향상시킨다.
• 다중 임계값 및 파라미터 추정치를 생성하기 위해 부트스트래핑 기반 리샘플링 방법을 적용하여, 복귀 수준 예측의 전반적인 불확실성 정량화를 가능하게 한다.
• 선택된 임계값을 초과하는 초과치를 모델링하기 위해 형태 파라미터 ξ와 척도 파라미터 σᵤ를 갖는 GPD 모델을 사용하여 渐近적 타당성을 확보한다.
• 부트스트래핑 샘플들 across에서 결과를 통합함으로써 임계값 불확실성을 복귀 수준 추론에 통합하여 더 신뢰할 수 있는 예측 구간을 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단변량 극단가치 분석에서 편향-분산 트레이드오프를 최소화할 수 있는 자동 임계값 선택 방법은 무엇인가?
• RQ2 임계값 불확실성은 극단 분위수 추정의 정밀도에 어떤 영향을 미치며, 이를 적절히 정량화할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법은 기존의 자동화된 및 주관적인 임계값 선택 기법들과 비교해 편향, 분산, 평균제곱오차 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ4 제한된 극단 관측치를 가진 과제가 있는 데이터셋, 예를 들어 River Nidd 홍수 자료와 같은 경우에 본 방법은 신뢰성 있게 처리할 수 있는가?
• RQ5 단일 임계값 접근 방식에 비해 임계값 불확실성을 전파함으로써 복귀 수준 추론의 신뢰성은 얼마나 향상되는가?

주요 결과

• 모든 시뮬레이션 시나리오에서 본 방법은 분위수 추정에 가장 낮은 루트 평균제곱오차(RMSE)를 달성하였으며, 특히 Danielsson 등(2001)과 Danielsson 등(2019)에 비해 편향과 분산 측면에서 뛰어난 성능을 보였다.
• n=2000인 정규분포 자료에서 EQD 방법은 0.95 분위수에서 가장 낮은 RMSE(0.214)와 분산(0.038)을 기록했으며, Northrop 및 Wadsworth 방법을 초월했다.
• 더 큰 표본(n=20,000)에서는 본 방법이 가장 낮은 분산과 경쟁 가능한 편향을 유지하여 모든 분위수 수준에서 가장 낮은 RMSE를 기록했다.
• 본 방법은 n=2000과 n=20,000일 때 각각 데이터의 75%와 87.5% 수준에서 중앙값 임계값을 선택하여 안정적이고 데이터 기반의 임계값 선택을 보였다.
• River Nidd 자료에서 본 방법은 기존 접근 방식보다 더 신뢰할 수 있는 복귀 수준 추정치와 좁은 예측 구간을 제공하여 실제 응용에서의 강건성을 입증했다.
• 부트스트래핑 기반의 불확실성 전파 방법은 임계값 선택의 변동성을 효과적으로 포착하여 극단 분위수의 더 현실적이고 신뢰할 수 있는 추론을 가능케 했다.