[논문 리뷰] Automatic continuity for homeomorphism groups of noncompact manifolds

Kathryn Mann|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 02.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비콤파クト 다성체와 그들의 매핑 클래스 군에 대해 자동 연속성을 확립한다. 다성체가 경계를 가진 콤팩트 다성체의 내부와 동형일 때, 표시된 점들의 집합이 고립점들과 칸토어 집합의 유한한 합집합인 경우에 해당한다. 스텐하우스 성질과 분할 기법을 사용하여, 이러한 군에서 분리 가능한 위상군으로의 임의의 준동형사상은 반드시 연속임을 증명하며, 이는 이전의 콤팩트 다성체에 대한 결과를 비콤팩트 상황으로 확장한다.

ABSTRACT

We extend the proof of automatic continuity for homeomorphism groups of manifolds to non-compact manifolds and manifolds with marked points and their mapping class groups. Specifically, we show that, for any manifold $M$ homeomorphic to the interior of a compact manifold, and a set $X \subset M$ homeomorphic to the union of a Cantor set and finite set, the relative homeomorphism group $\mathrm{Homeo}(M, X)$ and the mapping class group $\mathrm{Homeo}(M, X)/\mathrm{Homeo}_0(M,X)$ have the property that any homomorphism from such a group to any separable topological group is necessarily continuous.

연구 동기 및 목표

• 경계를 가진 콤팩트 다성체의 내부와 동형인 비콤팩트 다성체로 자동 연속성 성질을 콤팩트 다성체에서 확장한다.
• 이러한 다성체에서 유한 집합과/또는 칸토어 집합을 유지하는 상대 호메오모르피즘 군에 대해 자동 연속성을 확립한다.
• N. Vlamis가 제기한 무한 유형 표면의 매핑 클래스 군에 대한 자동 연속성 문제를 해결한다.
• 비콤팩트 다성체의 표시된 점을 가진 호메오모르피즘 군에서 스텐하우스 성질이 성립함을 보여주어 자동 연속성을 암시한다.

제안 방법

• 로젠달과 솔레cki의 스텐하우스 성질 기준을 비콤팩트 다성체로 확장하기 위해 바이어 분류 기법을 사용한다.
• 에드워즈–키르비의 분할 레마를 따르며, 서로소 콤팩트 집합에 지지된 호메오모르피즘을 분해한다.
• 가산 커버와 좌측 이동을 이용해 군 내 항등원의 대칭 이웃을 구성한다.
• 칸토어 집합의 점들 주변의 분리 공을 메트릭 기반으로 구성하여 대칭 집합 W의 거듭제곱 내에서 군 원소를 통제한다.
• 분리 공이 서로소임을 고려해, 군 작용이 대칭 집합 W의 유한한 거듭제수 내에서 실현됨을 보인다.
• 고립점을 제거하고 호메오모르피즘 불변성을 사용하여 일반적인 경우를 칸토어 집합의 경우로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계를 가진 콤팩트 다성체의 내부와 동형인 비콤파クト 다성체의 호메오모르피즘 군에 대해 자동 연속성 성질이 성립하는가?
• RQ2 이러한 다성체에서 칸토어 집합 또는 유한 집합을 유지하는 호메오모르피즘 군에 대해 스텐하우스 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ3 칸토어 집합을 제거한 콤팩트 다성체에서 유도된 무한 유형 표면의 매핑 클래스 군이 자동 연속성을 만족하는가?
• RQ4 표시된 집합에 대한 조건(예: 유한 점, 칸토어 집합)은 상대 호메오모르피즘 군이 스텐하우스 성질을 만족시키는 데 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 다성체 M가 경계를 가진 콤팩트 다성체의 내부와 동형이고 X가 유한 집합 또는 칸토어 집합일 때, 상대 호메오모르피즘 군 $\operatorname{Homeo}(M,X)$ 는 스텐하우스 성질을 가진다.
• 동일한 조건 하에서 매핑 클래스 군 $\operatorname{Homeo}(M,X)/\operatorname{Homeo}_{0}(M,X)$ 는 스텐하우스 성질을 가지며, 따라서 자동 연속성을 가진다.
• 증명은 X의 점들 주변의 분리 공의 존재와 대칭 집합 W의 유한한 거듭제곱 내에서 공의 사상 근사가 가능함에 의존한다.
• $\operatorname{Homeo}_{c}(M)$ 는 비콤팩트 M 위에서 컴팩트 지지를 가진 호메오모르피즘의 군이며, $\operatorname{Homeo}(\bar{M})$ 에의 포함이 연속적이지 않기 때문에 자동 연속성을 갖지 않는다.
• 결과적으로 이는 무한 유형 표면의 일반화된 매핑 클래스 군에 자동 연속성을 확장하며, N. Vlamis의 질문에 답한다.
• 증명은 $G(X) \subset W^{24+n}$ 을 보여주며, 여기서 n은 M의 차원에만 의존하는 수이다. 이는 항등원 이웃이 W의 유한한 거듭제곱에 포함됨을 보여준다.