[논문 리뷰] Automatic quasiconvexity of homogeneous isotropic rank-one convex integrands

André Guerra, Jan Kristensen|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 20.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 70인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 R²×² 상의 비음수, 등방성, 랭크-일차 볼록, p-동차 적분형이 p ≤ 2일 때 동형 행렬에서 정칙 볼록임을, p ≥ 2일 때는 다형 볼록임을 입증한다. 이는 버크홀더 적분형 Bp가 정칙 볼록임을 전제로 한다. 핵심 기여는 Bp의 정칙 볼록성이 전체 클래스의 정칙 볼록성을 이끌어내며, p ≥ 2일 때 Bp의 양성부가 다형 볼록임을 보이는 것이다.

ABSTRACT

We consider the class of non-negative rank-one convex isotropic integrands on $\mathbb{R}^{n imes n}$ which are also positively $p$-homogeneous. If $p \leq n = 2$ we prove, conditional on the quasiconvexity of the Burkholder integrand, that the integrands in this class are quasiconvex at conformal matrices. If $p \geq n = 2$, we show that the positive part of the Burkholder integrand is polyconvex. In general, for $p \geq n$, we prove that the integrands in the above class are polyconvex at conformal matrices. Several examples imply that our results are all nearly optimal.

연구 동기 및 목표

• R²×² 상의 비음수, 등방성, p-동차 적분형에 대해 랭크-일차 볼록성이 정칙 볼록성을 이끌어내는지 조사한다.
• 이러한 적분형이 동형 행렬에서 정칙 볼록성 및 다형 볼록성 상태를 규명한다.
• 버크홀더 적분형 Bp의 정칙 볼록성이 전체 클래스의 정칙 볼록성을 이끌어내는 데 충분함을 확립한다.
• p ≥ 2일 때 버크홀더 적분형 B⁺p의 양성부의 다형 볼록성을 분석한다.
• 미분 및 쌍대성 작용을 통해 관련 적분형에 대한 결과를 유도한다.

제안 방법

• R²×² 상의 등방성, p-동차, 랭크-일차 볼록 적분형의 구조를 활용하여, 연산자 노름과 행렬식을 통해 적분형을 표현하는 함수 h(t, d)로 문제를 축소한다.
• 변수 교체를 적용하여 적분형을 t = |A|와 d = det A로 표현하고, S ⊂ R⁺ × R 상의 도메인에서 함수 h(t, d)를 정의한다.
• 양성부 h⁺(t, d)를 분석하고, 선분 상의 행동을 검토하며 h⁺ > 0인 집합의 상대적 열린성을 이용해 그 볼록성을 증명한다.
• |A⁻|와 det A의 2차원에서의 볼록성을 활용하여, 지원 아핀 함수 부등식을 통해 정칙 볼록성을 확립한다.
• n=3 차원에서의 반례를 제시하여 B⁺p가 p > 3일 때 다형 볼록이 아니며, 결과의 날카로움을 입증한다.
• p=2에서 B⁺p에 대해 쌍대성과 미분을 적용하여, 치환 F ↦ F(A⁻¹)det A를 통해 새로운 다형 볼록 적분형 cB♯를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p ≤ 2일 때, 버크홀더 적분형이 정칙 볼록이라면, R²×² 상의 비음수, 등방성, p-동차 적분형에 대해 랭크-일차 볼록성이 정칙 볼록성을 이끌어내는가?
• RQ2 두 차원에서 p ≥ 2일 때 버크홀더 적분형 B⁺p의 양성부는 다형 볼록인가?
• RQ3 버크홀더 적분형 Bp의 정칙 볼록성은 더 넓은 적분형 클래스의 정칙 볼록성을 유도하는 데 충분한가?
• RQ4 결과는 최적인가, 아니면 고차원 또는 다른 동차도로 확장 가능한가?
• RQ5 p=2에서 B⁺p를 미분하여 얻는 적분형의 구조는 무엇이며, 다형 볼록인가?

주요 결과

• p ≤ 2일 때, R²×² 상의 비음수, 등방성, 랭크-일차 볼록, p-동차 적분형은 버크홀더 적분형 Bp의 정칙 볼록성을 전제로 하여 동형 행렬에서 정칙 볼록이다.
• p ≥ 2일 때, 버크홀더 적분형 B⁺p의 양성부는 R²×²에서 다형 볼록이다.
• n=3 차원에서 B⁺p는 p > 3일 때 다형 볼록이 아니며, 이는 결과의 방향으로서 날카로움을 보여준다.
• |A|와 det A를 변수로 하는 적분형을 나타내는 함수 h⁺(t, d)는 그 정의도메인에서 볼록이며, 이는 다형 볼록성 증명에 기여한다.
• B⁺p를 p=2에서 미분하면 새로운 적분형 B♯(A) = 1/2(|A|² + det A log|A|²)를 얻으며, 이는 다형 볼록이다.
• B♯에 대해 치환 F ↦ F(A⁻¹)det A를 적용하면 cB♯(A) = 1/2(|A|²/det A + log(|A|²/det A) - log det A)를 얻으며, 이 역시 다형 볼록이다.