[논문 리뷰] Automatic rational approximation and linearization of nonlinear eigenvalue problems

Pieter Lietaert, Javier J. Pérez외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 25.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비선형 고유값 문제를 위한 자동 합리적 근사 방법을 제시하며, AAA 알고리즘을 사용해 합리적 보간을 구성하고, 이는 Compact Rational Krylov 방법과 호환되는 상태공간 표현을 통해 선형화된다. 이 방법은 NLEIGS보다 더 적은 다항식 근을 사용하면서도 경쟁 가능한 정확도를 달성하며, 사용자 정의된 근 선택이 필요 없어 대규모 문제를 최소한의 사용자 입력으로 효율적으로 해결할 수 있다.

ABSTRACT

We present a method for solving nonlinear eigenvalue problems using rational approximation. The method uses the AAA method by Nakatsukasa, S\\`{e}te, and Trefethen to approximate the nonlinear eigenvalue problem by a rational eigenvalue problem and is embedded in the state space representation of a rational polynomial by Su and Bai. The advantage of the method, compared to related techniques such as NLEIGS and infinite Arnoldi, is the efficient computation by an automatic procedure. In addition, a set-valued approach is developed that allows building a low degree rational approximation of a nonlinear eigenvalue problem. The method perfectly fits the framework of the Compact rational Krylov methods (CORK and TS-CORK), allowing to efficiently solve large scale nonlinear eigenvalue problems. Numerical examples show that the presented framework is competitive with NLEIGS and usually produces smaller linearizations with the same accuracy but with less effort for the user.

연구 동기 및 목표

• 비선형 고유값 문제에서 복소해석학에 대한 전문 지식이나 함수 특화 조정이 필요 없이 완전히 자동화된 합리적 근사 방법을 개발하는 것.
• 특히 다수의 비선형 항을 포함한 문제에서 NLEIGS와 같은 기존 방법에 비해 근의 수를 줄이는 것.
• 합리적 근사와 대규모 고유값 계산을 효율적으로 수행할 수 있도록 Compact Rational Krylov(CORK) 프레임워크에 통합하는 것.
• 계수 행렬에 대해 낮은 랭크 가정이 필요 없이 행렬 함수의 낮은 랭크 구조를 활용할 수 있도록 하는 것.
• AAA를 사용한 집합 기반 합리적 근사가 개별 근사나 잠재 이론 기반 방법에 비해 근사 차수와 수렴 속도 측면에서 뛰어나다는 것을 입증하는 것.

제안 방법

• 사용자 정의된 집합에서 비선형 행렬 함수의 합리적 근사를 자동으로 계산하기 위해 AAA 알고리즘을 사용하며, 사용자 입력 없이도 근과 영점의 위치를 자동 조정한다.
• Su와 Bai(2011)의 상태공간 표현을 적용하여 얻어진 합리적 고유값 문제를 Krylov 해법기에 적합한 표준 형식으로 선형화한다.
• 여러 비선형 함수 간에 근과 보간 점을 공유하는 집합 기반 근사 전략을 적용하여 효율성을 향상시키고 총 차수를 감소시킨다.
• 선형화된 문제를 CORK(Compact Rational Krylov) 프레임워크에 통합하여, 합리적 Krylov 재사용을 통해 대규모 문제의 효율적 해법을 가능하게 한다.
• 완전 랭크 및 낮은 랭크 계수 행렬 모두 동일한 선형화 구조를 사용하여, 존재할 경우 낮은 랭크 구조를 활용할 수 있도록 한다.
• 실수축 상의 다중 이동을 사용한 Krylov 방법을 적용하여 리츠 값(ritz values)을 계산하고 잔차 허용 오차 10−12 수준에서 수렴 여부를 모니터링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 고유값 문제에 대해 도메인 전문 지식이나 수동 근 선택이 없이 AAA 알고리즘이 효과적으로 자동으로 합리적 근사를 구성할 수 있는가?
• RQ2 다수의 비선형 함수를 포함한 문제에서 AAA를 사용한 집합 기반 합리적 근사의 성능은 NLEIGS에 비해 근사 차수와 수렴 속도 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 CORK 프레임워크가 합리적 근사에서 유도된 대규모 비선형 고유값 문제를 효율적으로 해결하는 데 얼마나 잘 활용될 수 있는가?
• RQ4 잠재 이론 기반 방법(예: Leja–Bagby)에 비해 근의 수를 줄였을 때도 제안된 방법이 높은 정확도를 유지하는가?
• RQ5 브랜치 점과 무한대 행동을 포함한 복잡한 특이점을 가진 실제 문제, 예를 들어 자동차 캐비티 모델과 같이 복잡한 특이성을 가진 문제에서 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 자동차 캐비티 문제에서 조건이 특이점과 분기 절단이 존재함에도 불구하고, AAA 기반 합리적 근사는 오직 42개의 근만으로 상대 오차 10−13을 달성했다.
• 첫 번째 특이점 514i 아래의 더 작은 테스트 영역에서는 AAA가 오직 11개의 근만으로 10−12 정확도를 달성했고, Leja–Bagby 근이 필요한 40개보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 리츠 값의 수렴 속도는 AAA와 Leja–Bagby 방법 간에 유사했으며, 둘 다 약 30~40개의 Krylov 반복 이후 잔차 노름이 10−12 이하로 내려갔다.
• 모든 테스트 케이스에서 집합 기반 AAA 접근 방식이 NLEIGS보다 더 작은 합리적 근사를 생성했고, 정확도에 떨어짐 없이 성능을 유지했다.
• AAA 알고리즘이 근과 보간 점 선택을 완전 자동화함에 따라 NLEIGS보다 사용자 노력이 크게 줄었다.
• Su와 Bai의 상태공간 표현을 통한 선형화 과정은 CORK 프레임워크와 완전히 호환되어 대규모 문제의 효율적 해법을 가능하게 했다.