[논문 리뷰] Automatic Scenario Generation for Robust Optimal Control Problems

Marta Zagórowska, Paola Falugi외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 29.

Advanced Control Systems Optimization인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 매개변수적 및 시간에 따라 변화하는 불확실성 하에서 강건 최적 제어를 위한 국소 감소 방법을 제안하며, 문제를 반무한 최적화 과제로 재구성하여 일시적인 악성 시나리오를 반복적으로 식별한다. 불확실성 집합의 경계가 아닌 내부 점에 초점을 맞춤으로써, 총 214+3×192개의 경계 시나리오에 비해 훨씬 적은 101개의 시나리오로 감소시키면서도, 국소 최적화 도구를 사용하더라도 강건성을 확보한다. 이는 500개의 무작위 실현값을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

Existing methods for nonlinear robust control often use scenario-based approaches to formulate the control problem as nonlinear optimization problems. Increasing the number of scenarios improves robustness, while increasing the size of the optimization problems. Mitigating the size of the problem by reducing the number of scenarios requires knowledge about how the uncertainty affects the system. This paper draws from local reduction methods used in semi-infinite optimization to solve robust optimal control problems with parametric uncertainty. We show that nonlinear robust optimal control problems are equivalent to semi-infinite optimization problems and can be solved by local reduction. By iteratively adding interim globally worst-case scenarios to the problem, methods based on local reduction provide a way to manage the total number of scenarios. In particular, we show that local reduction methods find worst case scenarios that are not on the boundary of the uncertainty set. The proposed approach is illustrated with a case study with both parametric and additive time-varying uncertainty. The number of scenarios obtained from local reduction is 101, smaller than in the case when all $2^{14+3 imes192}$ boundary scenarios are considered. A validation with randomly drawn scenarios shows that our proposed approach reduces the number of scenarios and ensures robustness even if local solvers are used.

연구 동기 및 목표

• 제한된 불확실성 지식 하에서 강건 최적 제어의 계산 복잡도를 관리하는 데 도전한다.
• 기존의 시나리오 기반 방법이 불확실성 집합의 경계에 악성 시나리오가 존재한다고 가정하는 한계를 극복한다.
• 모든 가능한 불확실성 실현값의 완전한 열거 없이도 핵심적인 악성 시나리오를 효율적으로 식별하는 방법을 개발한다.
• 매개변수적 및 시간에 따라 변화하는 불확실성이 존재하는 상황에서도 최적화 문제의 시나리오 수를 최소화하면서 강건성을 확보한다.
• 혼합된 불확실성 유형을 포함한 열 제어 사례 연구를 통해 제안된 접근의 효과성을 입증한다.

제안 방법

• 연속적인 불확실성 매개변수로 인해 무한한 제약 조건 집합을 가진 반무한 최적화 문제로 강건 비선형 최적 제어 문제를 재구성한다.
• 반무한 최적화에서의 국소 감소 방법을 적용하여 비미분 가능 함수 S(θ) = maxρ∈B R(θ, ρ) ≤ 0을 처리한다.
• 모든 경계 점을 샘플링하는 대신, 국소 최대화 보조 문제를 풀어 일시적인 악성 시나리오를 반복적으로 식별하고 추가한다.
• 시간에 따라 변화하는 불확실성을 전체 시간 구간에 걸쳐 하나의 실현값으로 간주함으로써, 짧은 시간 간격에 걸친 시나리오 정의가 필요 없도록 한다.
• 제어 궤적을 생성하기 위해 q와 r로 매개변수화된 인과적 피드백 정책을 사용하며, 시스템 동역학은 추가적 및 비가산적 불확실성을 포함한 비선형 차분 방정식에 의해 지배된다.
• 강건성과 제약 조건 이행성을 평가하기 위해 500개의 무작위로 추출된 불확실성 실현값을 사용하여 유도된 제어기를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반무한 최적화에서의 국소 감소 방법은 매개변수적 및 시간에 따라 변화하는 불확실성이 있는 강건 최적 제어 문제에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 비선형 시스템에서 불확실성이 존재할 경우, 악성 시나리오는 항상 불확실성 집합의 경계에만 존재하는가, 내부에서도 발생할 수 있는가?
• RQ3 경계 기반 또는 무작위 시나리오 선택에 비해 국소 감소는 얼마나 많은 수의 시나리오를 감소시킬 수 있으며, 강건성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 국소 감소를 통해 유도된 제어기의 성능은 명목값, 무작위 또는 극한 경계 시나리오 기반 제어기와 비교하여 제약 위반 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 전역 최적화 없이도 국소 최적화 도구를 국소 감소 프레임워크에서 효과적으로 사용하여 강건한 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 국소 감소 방법은 214+3×192개의 경계 시나리오를 고려할 경우에 비해 훨씬 적은 101개의 악성 시나리오를 식별하였다.
• 국소 감소를 사용하여 유도된 제어기는 500개의 무작위로 추출된 불확실성 실현값 전역에서 모든 상태가 지정된 범위 내에 유지되었으며, 이는 강건성을 입증한다.
• 이 방법은 불확실성 집합의 내부에 위치한 악성 시나리오를 발견하였으며, 이는 일반적으로 악성 시나리오가 항상 경계에 존재한다고 보는 가정을 도전한다.
• 최대화 보조 문제에서 국소 최적화 도구를 사용하더라도 최종 제어기는 강건한 성능을 유지하였으며, 이는 방법의 실용성과 수치적 안정성을 시사한다.
• 무작위 시나리오(5, 100, 250개) 및 극한 경계 시나리오 기반 제어기는 각각 최대 1.1°C 및 0.5°C의 제약 위반을 보였으며, 이러한 접근의 한계를 드러냈다.
• 이 방법은 각각의 전체 시간 구간에 걸친 불확실성 실현값을 하나의 시나리오로 간주함으로써 시간에 따라 변화하는 불확실성을 효과적으로 처리하였으며, 짧은 시간 간격의 시나리오 분해가 필요 없도록 하였다.