[논문 리뷰] Automatically Proving Mathematical Theorems with Evolutionary Algorithms and Proof Assistants

Li-An Yang, Jui-Pin Liu외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 24.

Evolutionary Algorithms and Applications참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 진화 알고리즘과 증명 보조도구—특히 Coq—를 결합하여 수학 정리의 형식적 증명을 자동으로 생성하고 검증하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 간단한 유전 알고리즘을 통해 정수 수열로 표현된 증명 전략을 진화시키고, 이를 Coq에서 평가함으로써, Coq의 내장된 'auto' 전략으로는 해결할 수 없었던 10개의 비트리비얼 정리를 성공적으로 증명함으로써, 진화적 탐색을 통한 자동 증명 증명의 가능성을 입증한다.

ABSTRACT

Mathematical theorems are human knowledge able to be accumulated in the form of symbolic representation, and proving theorems has been considered intelligent behavior. Based on the BHK interpretation and the Curry-Howard isomorphism, proof assistants, software capable of interacting with human for constructing formal proofs, have been developed in the past several decades. Since proofs can be considered and expressed as programs, proof assistants simplify and verify a proof by computationally evaluating the program corresponding to the proof. Thanks to the transformation from logic to computation, it is now possible to generate or search for formal proofs directly in the realm of computation. Evolutionary algorithms, known to be flexible and versatile, have been successfully applied to handle a variety of scientific and engineering problems in numerous disciplines for also several decades. Examining the feasibility of establishing the link between evolutionary algorithms, as the program generator, and proof assistants, as the proof verifier, in order to automatically find formal proofs to a given logic sentence is the primary goal of this study. In the article, we describe in detail our first, ad-hoc attempt to fully automatically prove theorems as well as the preliminary results. Ten simple theorems from various branches of mathematics were proven, and most of these theorems cannot be proven by using the tactic auto alone in Coq, the adopted proof assistant. The implication and potential influence of this study are discussed, and the developed source code with the obtained experimental results are released as open source.

연구 동기 및 목표

• 진화 알고리즘을 증명 생성기로, 증명 보조도구를 증명 검증기로 사용하여 자동 증명에 활용할 수 있는지 탐구하는 것.
• 진화 알고리즘과 같은 확률적이고 전역 탐색 방법이 Coq 내의 형식적 증명 공간을 효과적으로 탐색할 수 있는지 탐색하는 것.
• 기존의 표준 자동 전략인 'auto' 전략으로는 해결되지 않는 정리를 이 하이브리드 접근법이 증명할 수 있는지 평가하는 것.
• 컴퓨터 기반 증명 탐색을 통해 공동체 기반의 자동 수학 지식 축적을 위한 미래 시스템의 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 진화 알고리즘이 Coq 내의 잠재적 전략 시퀀스를 나타내는 정수 수열을 생성한다.
• 각 정수 수열은 증명 스크립트로 해석되고, Coq 증명 보조도구에 의해 정확성 여부가 평가된다.
• 적합도 평가는 Coq의 형식 검사기로 수행되며, 생성된 증명 스크립트가 목표 정리를 성공적으로 증명하는지 검증한다.
• 알고리즘은 고급 메커니즘 없이 간단한 유전 프로그래밍 접근법을 사용하며, 증명 길이나 효율성보다는 증명의 타당성에 중점을 둔다.
• 프레임워크는 Curry-Howard 이sov모르피즘을 활용하여 증명을 프로그램으로 간주하고, Coq 내에서 프로그램 평가를 통해 검증한다.
• 시스템은 확장 가능하도록 설계되었으며, 향후에는 런타임 상태 점검 및 몬테카를로 트리 탐색 통합 등의 개선이 계획되어 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진화 알고리즘이 Coq와 같은 증명 보조도구 내의 형식적 증명 공간을 효과적으로 탐색할 수 있는가?
• RQ2 이 접근법이 'auto' 전략으로는 해결되지 않는 정리를 자동으로 증명할 수 있는가?
• RQ3 간단한 진화 알고리즘을 증명 보조도구의 검증 기능과 결합하여 정확한 증명을 생성할 수 있는가의 가능성은 무엇인가?
• RQ4 증명 보조도구는 실시간 증명 상태 피드백을 통해 진화적 탐색을 어떻게 이끌 수 있는가?
• RQ5 이러한 프레임워크의 장기적 잠재적 영향은 자동 수학 지식 축적에 어떤가?

주요 결과

• 프레임워크는 Coq의 'auto' 전략으로만은 증명할 수 없었던 다양한 수학 분야의 10개의 정리를 성공적으로 증명하였다.
• 진화 알고리즘이 생성한 유효한 증명 스크립트가 Coq에 의해 정확히 검증되었으며, 이는 접근법의 타당성을 입증한다.
• 해결 공간에 대한 사전 지식 없이도 증명이 생성되었으며, 이는 진화 과정이 비트리비얼한 증명 경로를 발견할 수 있음을 시사한다.
• 결과는 진화 알고리즘이 특히 증명 보조도구의 정확성 보장 기능과 결합할 경우 형식적 증명 공간에서 효과적인 탐색 기제가 될 수 있음을 시사한다.
• 이 접근법은 컴퓨터 기반 증명 탐색을 통한 자동화되고 공동체 기반의 수학 지식 축적의 길을 열어준다.
• 저자는 진화 알고리즘과 증명 보조도구의 통합이 향후 자동 증명 연구 분야에서 유망한 방향임을 결론지었다.