[논문 리뷰] Automorphic Forms, Cohomology and CAP Representations. The Case $GL_2$ over a definite quaternion algebra

Harald Grobner|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 11.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $GL_2$의 정적(quaternion) 대수에 대한 $\mathbb{Q}$ 위에서의 커피드럴 및 아이젠스타인 코호몰로지에 대해 완전히 기술하며, 전역 자크-랑글랑스 대응을 통한 함자성(functoriality)을 이용해 강한 승법성 원리(Strong Multiplicity One)를 만족하는 $GL_2$에서도 1차와 4차에서 코호몰로지 표현을 갖는 CAP-표현의 존재를 증명한다. 모든 차수에서 코호몰로지의 비영성(non-vanishing)을 확립하고, 임의의 임의의 연관된 연산자(non-vanishing result on intertwining operators)를 통해 임계 $L$-값의 유리성에 기초를 마련한다.

ABSTRACT

In this paper we fully describe the cuspidal and the Eisenstein cohomology of the group $G=GL_2$ over a definite quaternion algebra $D/\Q$. Functoriality is used to show the existence of residual and cuspidal automorphic forms, having cohomology in degree 1. The latter ones turn out to be CAP-representations, though $G$ satisfies Strong Multiplicity One. A non-vanishing result on intertwining operators of induced representations will serve as a starting point for further investigations concerning rationality of critical $L$-values.

연구 동기 및 목표

• 정적(quaternion) 대수 $D/\mathbb{Q}$ 위에서 $GL_2$의 커피드럴 및 아이젠스타인 코호몰로지를 완전히 기술하는 것.
• 강한 승법성 원리(Strong Multiplicity One)를 만족하는 바에도 불구하고 1차에서 잔류 및 커피드럴 자동형식이 코호몰로지를 갖는다는 것을 증명하는 것.
• 왜곡된 아르테르 트레이스 공식과 함자성을 이용해 2차 및 3차에서 커피드럴 코호몰로지의 비영성을 확립하는 것.
• 임계 $L$-값의 유리성 결과에 기초가 되는 연관된 연산자(non-vanishing result on intertwining operators)를 제공하는 것.

제안 방법

• $GL_2(D)$에서 $GL_4(\mathbb{A})$로의 전역 자크-랑글랑스 대응을 사용하여 코호몰로지를 갖는 잔류 및 커피드럴 자동형식 표현을 구성하는 것.
• 랑글랑스-샤히디 방법의 적용 및 그라브크(Grbac)의 작업을 통한 연관된 연산자의 정규화, 비일반적이고 분할된 장소에서도 적용.
• 적절히 선택된 시험 함수를 사용한 왜곡된 아르테르 트레이스 공식을 활용하여 2차 및 3차에서 커피드럴 코호몰로지의 비영성을 탐지하는 것.
• 레프셰츠 수와 단순 트레이스 공식을 사용하여 기하 측면의 양성 보장 → 고정된 무한소 특성(character)을 갖는 커피드럴 표현의 존재를 유도하는 것.
• 결과 [15] 및 [13]을 활용해 전역 연관된 연산자 정규화를 분할된 장소의 국소 성분으로 환원하는 것.
• $D^* \times D^*$의 리 군 부분군의 커피드럴 자동형식 표현을 분류하여 잔류 아이젠스타인 시리즈를 유도하는 바, 이는 연관된 연산자의 극점에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정적(quaternion) 대수 위에서 $GL_2$의 커피드럴 및 아이젠스타인 코호몰로지의 완전한 구조는 무엇인가?
• RQ2 강한 승법성 원리(Strong Multiplicity One)를 만족하는 바에도 불구하고, $GL_2$의 정적(quaternion) 대수에서 코호몰로지 CAP-표현이 존재할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 1차에서 비영인 잔류 아이젠스타인 코호몰로지가 발생하는가?
• RQ4 트레이스 공식 기법을 통해 2차 및 3차에서 커피드럴 코호몰로지의 비영성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 연관된 연산자는 이러한 코호몰로지 계열의 임계 $L$-값의 유리성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정적(quaternion) 대수 위에서 $GL_2$의 아이젠스타인 코호몰로지는 완전히 기술되었으며, 잔류 자동형식 표현이 존재할 때에만 1차에서 비영임을 보였다.
• 1차와 4차에서 커피드럴 코호몰로지 계열이 존재하며, 이는 비온도(tempered) 아르키메데스 성분을 갖는다. 강한 승법성 원리에도 불구하고 이들은 CAP-표현임을 입증하였다.
• 왜곡된 아르테르 트레이스 공식을 통해 모든 자기쌍대, 기약, 유한차원 복소수 표현 $E$에 대해 $G(\mathbb{R})$에서의 최고 무게 $\lambda \neq k\omega_2$, $k \geq 0$ 조건을 만족할 경우, 2차 및 3차에서 커피드럴 코호몰로지가 비영임을 입증하였다.
• 전역 자크-랑글랑스 대응을 통해 1차에서 잔류 자동형식 표현의 존재를 증명하였으며, 이는 $GL_4$에서 직접 이러한 표현을 구성함으로써 이루어졌다.
• 연관된 연산자에 대한 비영성 결과를 확립하였으며, 이는 향후 임계 $L$-값의 유리성 연구에 기초가 된다.
• 커피드럴 코호몰로지 계열은 대칭적으로 쌍 $(q, 5-q)$으로 분포하며, 1차 및 4차는 비온도 아르키메데스 성분에 해당하고, 2차 및 3차는 온도(tempered) 성분에 해당한다.