[논문 리뷰] Automorphism groups of Witt algebras

Jianzhi Han, Yucai Su|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 05.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항식 대수 $A_n$ 와 윌트 대수 $W_n$ 의 자기동형군 사이의 동형사상이 모든 $n \geq 1$ 에 대해 존재함을 보이며, 잭비 투플—상수인 영이 아닌 야코비안 행렬식을 가진 다항식의 $n$-성분 조합—를 통해 $W_n$ 의 영이 아닌 자기형사상들을 특성화함으로써 이를 달성한다. 핵심 결과는 ${\rm Aut}\,W_2 \cong {\rm Aut}\,A_2$ 이며, 이는 순열, 스케일링, 삼각형 자기동형사상들로 생성되는 군으로 명시적으로 결정되며, $W_2$ 의 자기동형군을 명백히 규명한다.

ABSTRACT

The automorphism groups ${ m Aut\,}A_n$ and ${ m Aut\,}W_n$ of the polynomial algebra $A_n=C[x_1,x_2,\cdots, x_n]$ and the rank $n$ Witt algebra $W_n={ m Der\,}A_n$ are studied in this paper. It is well-known that ${ m Aut\,}A_n$ for $n\ge3$ and ${ m Aut\,}W_n$ for $n\ge2$ are open. In the present paper, by characterizing the semigroup ${ m End\,}W_n\setminus\{0\}$ of nonzero endomorphisms of $W_n$ via the semigroup of the so-called Jacobi tuples, we establish an isomorphism between ${ m Aut}\,A_n$ and ${ m Aut\,}W_n$ for any positive integer $n$. In particular, this enables us to work out the automorphism group ${ m Aut\,}W_2$ of $W_2$.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 리 대수에서 오랫동안 열려있던 문제인 다항식 대수 $A_n$ 에 대한 윌트 대수 $W_n = {\rm Der}\,A_n$ 의 자기동형군 ${\rm Aut}\,W_n$ 을 규명하는 것.
• 자기형사상의 구조적 연결 고리—$W_n$ 의 자기형사상들을 통해—를 $A_n$ 과 $W_n$ 의 자기동형군 사이에 수립하는 것.
• $n=2$ 의 경우를 해결하여 ${\rm Aut}\,W_2 \cong {\rm Aut}\,A_2$ 를 증명하고, 이를 명시적으로 묘사하는 것.
• 다항식 자기형사상이 상수 야코비안을 가진다는 잭비 추측이 윌트 대수의 추측—모든 영이 아닌 $W_n$ 의 자기형사상이 자기동형사상임—과 동치임을 보이는 것.

제안 방법

• 저자들은 $W_n$ 을 유리 함수의 체인 $ olimits\bar{A}_n = \mathbb{C}(x_1,\dots,x_n)$ 의 유도 대수 $\bar{W}_n = {\rm Der}\,\bar{A}_n$ 에 통합함으로써, 자기형사상들의 기하학적 해석을 가능하게 한다.
• 저자들은 야코비 투플—야코비안 행렬식이 $\mathbb{C}^\times$ 에 속하는 $n$-성분 조합 $(f_1,\dots,f_n) \in A_n^n$—의 집합 ${\rm JT}_n$ 에서, 치환을 통한 복합 연산 $f \cdot g = (g_1(f), \dots, g_n(f))$ 을 사용하여 준군의 구조를 정의한다.
• 저자들은 각 자기동형사상 $\tau \in {\rm Aut}\,A_n$ 에 대해 유도자에 대한 유도 작용을 통해 유일한 자기형사상 $\sigma_{f_\tau} \in {\rm End}\,W_n$ 를 연결함으로써, ${\rm Aut}\,A_n \to {\rm End}\,W_n \setminus \{0\}$ 의 사상 $\zeta$ 를 구성한다.
• 저자들은 야코비안 행렬의 역행렬을 사용하여 쌍대 유도 기저를 정의함으로써, $\zeta$ 가 ${\rm Aut}\,A_n$ 에서 ${\rm Aut}\,W_n$ 으로의 잘 정의된 동형사상임을 증명한다.
• 저자들은 임의의 영이 아닌 $W_n$ 의 자기형사상이 야코비 투플에 대응됨을 보이고, 잭비 추측이 성립할 경우 이러한 자기형사상들은 모두 자기동형사상이 되므로, 윌트 대수의 추측이 잭비 추측을 함의함을 증명한다.
• $n=2$ 의 경우, ${\rm Aut}\,A_2$ 의 알려진 구조—순열, 스케일링, 삼각형 자기동형사상들로 생성됨—을 사용하여 이 동형사상을 통해 ${\rm Aut}\,W_2$ 를 완전히 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $n \geq 1$ 에 대해 ${\rm Aut}\,A_n$ 과 ${\rm Aut}\,W_n$ 사이에 구조적 동형사상이 존재하는가?
• RQ2 $n=2$ 의 경우 일반적인 경우의 어려움을 감안할 때, $W_2$ 의 자기동형군을 완전히 규명할 수 있는가?
• RQ3 야코비 추측—상수 야코비안을 가진다면 다항식 자기동형사상임—이 윌트 대수의 추측—모든 영이 아닌 $W_n$ 의 자기형사상이 자기동형사상임—을 함의하는가?
• RQ4 $W_n$ 의 영이 아닌 자기형사상들의 준군은 야코비 투플로 매개화될 수 있으며, 이러한 매개화는 ${\rm Aut}\,A_n$ 과의 동형사상으로 이어지는가?

주요 결과

• 논문은 모든 $n \geq 1$ 에 대해 $\zeta: {\rm Aut}\,A_n \to {\rm Aut}\,W_n$ 의 표준적 동형사상을 수립함으로써, $A_n$ 과 $W_n$ 의 자기동형군이 서로 동형임을 보였다.
• $n=2$ 의 경우, 자기동형군 ${\rm Aut}\,W_2$ 는 순열 $s_1$, $a \in \mathbb{C}^\times$ 에 대한 스케일링 $\tau_a$, $p \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$ 에 대한 삼각형 자기동형사상 $\psi_p$ 로 생성되는 군으로 완전히 결정되었으며, 이는 알려진 ${\rm Aut}\,A_2$ 의 구조와 일치한다.
• 저자들은 잭비 추측이 윌트 대수의 추측과 동치임을 증명하였다: $W_n$ 의 모든 영이 아닌 자기형사상이 자기동형사상임은, 모든 야코비 투플이 $A_n$ 을 생성함과 동치이다.
• $W_n$ 의 영이 아닌 자기형사상들의 준군은 치환을 통한 복합 연산에 대해 야코비 투플의 집합 ${\rm JT}_n$ 으로 매개화되며, 곱셈 법칙은 $f \cdot g = (g_1(f), \dots, g_n(f))$ 로 주어진다.
• $\tau \in {\rm Aut}\,A_n$ 에 의해 유도되는 사상 $\sigma_{f_\tau} \in {\rm End}\,W_n$ 는 야코비안이 영이 아닌 상수일 때에만 전사적이다. 이는 잭비 추측이 성립할 경우 보장된다.
• 증명은 $\sigma_{f_\tau}$ 가 전사적임을 보이며, 그 이유는 이미지에 모든 $\partial_j$ 와 $x_i^2 \partial_j$ 가 포함되어 있기 때문이다. 이들은 $n \geq 2$ 일 때 $W_n$ 을 생성하므로, $\sigma_{f_\tau} = {\rm Aut}\,W_n$ 이 되어야 한다.