[논문 리뷰] Automorphisms of $\mathbb C^k$ with an invariant non-recurrent attracting Fatou component biholomorphic to $\mathbb C imes (\mathbb C^\ast)^{k-1}$

Filippo Bracci, Jasmin Raissy외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 24.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소수 평면 $\mathbb{C}^k$ ($k \geq 2$)의 정칙 자명변환을 구성하여, $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$에 정칙적으로 동형인 불변이며 비재귀적인 안정성의 파투 성분을 가짐을 보이며, 국소적 파투 좌표, 피브러 복합체 확장, 코바야시 거리 측도 추정을 조합함으로써 이를 달성한다. 주요 결과로는 복소다양체 이론에서 오랫동안 남아있던 문제인, $\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*$가 $\mathbb{C}^2$에 룬제 임베딩으로서 실현될 수 있는지 여부를 해결하며, 복소다양체 이론에서 비단순연결된 안정성 파투 성분의 첫 번째 알려진 예를 제시한다.

ABSTRACT

We prove the existence of automorphisms of $\mathbb C^k$, $k\ge 2$, having an invariant, non-recurrent Fatou component biholomorphic to $\mathbb C imes (\mathbb C^\ast)^{k-1}$ which is attracting, in the sense that all the orbits converge to a fixed point on the boundary of the component. Such a Fatou component also avoids $k$ analytic discs intersecting transversally at the fixed point. As a corollary, we obtain a Runge copy of $\mathbb C imes (\mathbb C^\ast)^{k-1}$ in $\mathbb C^k$.

연구 동기 및 목표

• 정칙 자명변환의 존재성을 증명한다: $\mathbb{C}^k$ ($k \geq 2$)에서, $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$에 정칙적으로 동형인 불변이며 비재귀적인 안정성 파투 성분을 가지는 정칙 자명변환의 존재를 보장한다.
• 오랫동안 남아있던 열린 문제인, $\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*$가 $\mathbb{C}^2$에 룬제 임베딩으로서 실현될 수 있는지 여부를, 파투 성분으로서의 임베딩을 구성함으로써 해결한다.
• 구축된 파투 성분이 안정성 고정점에서 횡단적으로 만날 $k$개의 해석적 원판을 피한다는 것을 보인다.
• 파투 좌표에 의해 유도된 피브러 복합체의 구조를 통해, 전체 파투 성분이 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$에 정칙적으로 동형임을 증명한다.
• 코바야시 거리 측도 추정을 이용하여, 더 큰 불변 도메인의 존재를 배제함으로써 전체 파투 성분이 최대 파투 성분임을 증명한다.

제안 방법

• 원점에서 고정점을 가지며, 페숄의 허용 조건을 만족하는 고정점의 정칙 껍질을 사용하여 $\mathbb{C}^k$ 내 국소적 안정성 기저 $B$를 구성한다.
• 반복 수렴이 원점으로 일관되게 수렴하도록 보장하기 위해, $\psi \circ F = \psi + 1$을 만족하는 국소적 파투 좌표 $\psi$를 $B$ 위에 정의한다.
• 전역 기저 $\Omega = \bigcup_{n \geq 0} F^{-n}(B)$ 위에서 $\psi$를 전역 맵 $g_1$으로 확장하여, $ (\mathbb{C}^*)^{k-1} $를 섬유로 가지는 정칙 피브러 복합체 사상임을 증명한다.
• 추가로 $k-1$개의 국소 좌표 $\sigma_j$를 정의하여, 함수 방정식 $\sigma_j \circ F = \lambda_j \cdots \lambda_k \cdot e^{-\frac{k-j+1}{k\psi}} \sigma_j$ 를 만족시키며, 이를 $\Omega_0 \subset \Omega$ 위에서 전역적으로 확장한다.
• 피브러 복합체의 전이 함수가 $\mathrm{GL}_{k-1}(\mathbb{C})$에 속한다는 점을 이용하여, [7, 보조정리 8.3.3]을 적용하여 $\Omega$가 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$에 정칙적으로 동형임을 결론짓는다.
• 페숄의 결과와 코바야시 거리 측도의 정밀한 추정을 적용하여, 파투 성분 $V$가 $\Omega$와 같음을 보이며, 이는 그것이 전체 파투 성분임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정칙 자명변환이 존재하는가? $\mathbb{C}^k$ ($k \geq 2$)에서, $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$에 정칙적으로 동형인 비재귀적 안정성 파투 성분을 가지는 정칙 자명변환이 존재하는가?
• RQ2 $\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*$는 자명변환의 파투 성분을 통해 $\mathbb{C}^2$에 룬제 도메인으로서 실현될 수 있는가?
• RQ3 안정성 고정점에서 횡단적으로 만날 $k$개의 해석적 원판을 피하는 그러한 파투 성분을 구성하는 것이 가능한가?
• RQ4 파투 좌표에서 유도된 피브러 복합체의 구조를 이용하여, 정칙 자명변환의 전역 안정성 기저가 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$에 정칙적으로 동형임을 보일 수 있는가?
• RQ5 코바야시 거리 측도를 사용하여, 전역 안정성 기저가 전체 파투 성분이며 더 큰 불변 도메인의 일부가 아니라는 것을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• $k \geq 2$인 각 $k$에 대해, $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$에 정칙적으로 동형인 불변이며 비재귀적인 안정성 파투 성분을 가지는 정칙 자명변환을 구성한다. 이는 고차원에서 그러한 예가 처음으로 제시된 것이다.
• 보조정리 0.2는 $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$가 $\mathbb{C}^k$에 룬제 임베딩을 가짐을 보여주며, 복소해석학에서 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.
• 구축된 파투 성분은 안정성 고정점에서 횡단적으로 만나는 $k$개의 해석적 원판을 피한다. 이는 $\mathbb{C}^k$에 정칙적으로 동형이 되는 데 있어 핵심적인 위상적 장애물임을 보여준다.
• 함수 방정식 $\psi \circ F = \psi + 1$과 확장 기법을 이용하여, 전역 기저 $\Omega$가 $\mathbb{C}$ 위에 정칙 피브러 복합체를 이루며, 섬유가 $ (\mathbb{C}^*)^{k-1} $임을 보이며, 이는 $\Omega \cong \mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1} $임을 의미한다.
• 페숄의 허용 조건과 코바야시 거리 측도의 정밀한 추정을 적용하여, 저자들은 파투 성분 $V$가 $\Omega$와 같음을 증명하며, 이것이 전체 파투 성분임을 확인한다.
• $\Omega$의 코homology 군 $H^{k-1}(\Omega, \mathbb{C})$는 비자명하며, 이는 룬제 도메인으로서 $\mathbb{C}^k$에서 허용되는 최고의 비자명한 코homological 차수를 가지며, 세르의 퇴적 정리와 일치한다.