[논문 리뷰] Automorphy of some residually dihedral Galois representations

Jack A. Thorne|Apollo (University of Cambridge)|2015. 04. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 타원곡선의 모듈라성 결과를 고전적 프레임워크를 초월하여 확장하기 위해, 타원곡선의 5-이소지니가 존재하지 않으며 5가 제곱수가 아닐 경우, 티처–와일즈 가정을 만족하지 않는 2차원 갈루아 표현에 대해 새로운 자동성 상승 정리를 수립한다. 이는 제어된 분할 조건을 갖는 $ R = ℚT $ 방법을 사용한다. 주요 결과는 5가 제곱수가 아니며 $ F $-유리 5-이소지니가 존재하지 않는 타원곡선은 타원곡선의 모듈라성을 보여준다.

ABSTRACT

We establish the automorphy of some families of 2-dimensional representations of the absolute Galois group of a totally real field, which do not satisfy the so-called `Taylor--Wiles hypothesis'. We apply this to the problem of the modularity of elliptic curves over totally real fields

연구 동기 및 목표

• 타원곡선의 모듈라성을 고전적 프레임워크를 초월하여 확장하기 위해, 잔여 표현이 $ F(\rho_5) $에서도 불가약성을 유지한다고 가정하지 않는 경우에 2차원 갈루아 표현의 자동성을 확립하는 것.
• 잔여적으로 이면적 갈루아 표현에 대해, 티처–와일즈 조건을 만족하지 않는 경우에도 작동하는 새로운 $ R = \bbT $ 방법을 개발하는 것.
• 5가 기저 체에서 제곱수가 아니며 $ F $-유리 5-이소지니가 존재하지 않는 타원곡선이 모듈라성을 갖는 것을 증명하는 것.
• 특히 비정상적 및 잠재적으로 초승격인 표현을 포함한 잔여적으로 이면적 케이스에서, Fontaine–Mazur 추측에 대한 새로운 접근법을 제공하는 것.

제안 방법

• 모듈로 $ p^{N_0} $에서 성립하지만 원래 표현 $ \rho $에서는 성립하지 않는 추가 분할 조건을 갖는 $ R = \bbT $ 정리를 구성한다.
• 변형 환 $ R $ 가 움직임의 환 $ W(k) $ 와 동형임을 보장함으로써, 티처–와일즈 방법에 의존하지 않고도 $ R = \bbT $ 를 확보한다.
• 마주르의 원리를 사용하여 $ \rho \mod p^{N_0} $ 가 고정된 수준 $ N $ 에서의 모듈라 곡선의 에탈 코호몰로지에 나타남을 보인다. 이는 $ N_0 $ 에 관계없이 성립한다.
• 역극한을 취함으로써 $ N_0 \to \infty $ 일 때 $ \rho $ 가 코호몰로지에 나타남을 유도하고, 따라서 자동성임을 증명한다.
• 타원곡선에 이 방법을 적용하기 위해, 그 모듈로 5 갈루아 표현이 요구 조건을 만족함을 확인한다.
• 기저 변경과 가해성 확장을 사용하여, $ \rho $ 와 같은 모듈로 $ p $ 환원을 갖는 무게 2 캐스피드 아큐멘타티브 표현 $ \pi $ 가 존재함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잔여 표현이 $ F(\zeta_p) $ 에서도 분해 가능해지는 경우, 즉 잔여적으로 이면적 케이스에서, 타원곡선의 2차원 갈루아 표현의 자동성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 특히 잠재적으로 초승격 또는 비정상적인 설정에서, 티처–와일즈 가정을 가정하지 않고 자동성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 잔여 자동성 조건이 없을 경우, $ R = \bbT $ 방법이 고전적 티처–와일즈 기계를 우회하는 데 얼마나 적응 가능한가?
• RQ4 타원곡선의 5-표현이 잔여적으로 이면적일 경우, 어떤 조건이 타원곡선의 모듈라성을 보장하는가?
• RQ5 이 방법은 다른 소수 $ p $ 에도 확장 가능한가, 아니면 $ p = 5 $ 에만 국한되는가? (증명의 구조에 의해 암시됨).

주요 결과

• 정리 7.5는 타원곡선의 2차원 갈루아 표현이 $ p = 5 $ 에서 잔여적으로 이면적 조건을 만족할 때, 티처–와일즈 가정 없이도 자동성을 보임을 증명한다.
• 논문은 5가 기저 체 $ F $ 에서 제곱수가 아니며 $ F $-유리 5-이소지니가 존재하지 않는 모든 타원곡선 $ E $ 는 모듈라성을 갖는다고 증명한다 (정리 7.6).
• 제어된 분할 조건과 마주르의 원리를 사용하여, 티처–와일즈 추론을 피하는 새로운 $ R = \bbT $ 동형을 구성한다.
• 자기적 자동성 결과는 고전적 히다 이론의 범위를 초월하는 잠재적으로 초승격 표현에 대해서도 성립한다.
• 이 증명은 프로젝티브 이미지가 $ \bbF_2 \times \bbF_2 $ 와 동형인 타원곡선의 경우, 이전 정리들이 제외한 케이스에 대해서도 적용된다.
• 결과는 $ F \cap \bbQ(\zeta_5) = \bbQ $ 이며 모듈로 5 표현이 불가약한 모든 타원곡선이, $ F $-유리 5-이소지니가 존재하지 않는 한 모듈라성을 갖는다는 것을 암시한다.