[논문 리뷰] Average-case hardness of estimating probabilities of random quantum circuits with a linear scaling in the error exponent

Hari Krovi|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Haar 랜덤, p=1 QAOA, 그리고 랜덤 IQP 회로와 같은 무작위 양자 회로의 출력 확률을 고전적으로 근사화할 때 coC=P 난이도를 입증한다. 이는 Haar 회로의 경우 2−O(m)로 스케일링되는 덧셈 오차 기준이며, QAOA 및 IQP 회로의 경우 2−O(n)로 스케일링된다. 저자들은 잘린 테일러 급수 보간과 향상된 강건한 다항식 재구성 기법을 사용하여 오차 지수에 대해 선형 스케일링을 달성함으로써 이전 결과를 강화하고, 효율적인 고전적 시뮬레이션은 다항식 계층의 붕괴를 초래할 것임을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the hardness of computing additive approximations to output probabilities of random quantum circuits. We consider three random circuit families, namely, Haar random, $p=1$ QAOA, and random IQP circuits. Our results are as follows. For Haar random circuits with $m$ gates, we improve on prior results by showing $\mathsf{coC_=P}$ hardness of average-case additive approximations to an imprecision of $2^{-O(m)}$. Efficient classical simulation of such problems would imply the collapse of the polynomial hierarchy. For constant depth circuits i.e., when $m=O(n)$, this linear scaling in the exponent is within a constant of the scaling required to show hardness of sampling. Prior to our work, such a result was shown only for Boson Sampling in Bouland et al (2021). We also use recent results in polynomial interpolation to show $\mathsf{coC_=P}$ hardness under $\mathsf{BPP}$ reductions rather than $\mathsf{BPP}^{\mathsf{NP}}$ reductions. This improves the results of prior work for Haar random circuits both in terms of the error scaling and the power of reductions. Next, we consider random $p=1$ QAOA and IQP circuits and show that in the average-case, it is $\mathsf{coC_=P}$ hard to approximate the output probability to within an additive error of $2^{-O(n)}$. For $p=1$ QAOA circuits, this work constitutes the first average-case hardness result for the problem of approximating output probabilities for random QAOA circuits, which include Sherrington-Kirkpatrick and Erdös-Renyi graphs. For IQP circuits, a consequence of our results is that approximating the Ising partition function with imaginary couplings to an additive error of $2^{-O(n)}$ is hard even in the average-case, which extends prior work on worst-case hardness of multiplicative approximation to Ising partition functions.

연구 동기 및 목표

• 무작위 양자 회로의 출력 확률 근사화에 대해 평균 케이스 고전적 난이도를 입증하는 것.
• Haar 랜덤 회로에 대해 이전 결과의 2−O(m log m)에서 2−O(m)로 개선된 오차 스케일링을 달성하는 것.
• p=1 QAOA 및 랜덤 IQP 회로에 대해 평균 케이스 난이도를 확장하는 것—이전에 이에 대한 결과가 없었음.
• 최근 다항식 보간 기법의 발전을 활용하여 BPPNP에서 BPP로의 감소 복잡도를 줄이는 것.
• 추가 추측 없이도 허수 결합을 가진 이징 분할 함수 근사화가 평균 케이스에서 어렵다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 출력 확률을 보간 매개변수의 함수로 간주하여 잘린 테일러 급수를 사용해 차수 O(m/log m)의 저차수 다항식을 구성한다.
• 개선된 오차 한계를 가진 강건한 Berlekamp-Welch 알고리즘을 적용하여 노이즈가 섞인 평가치로부터 다항식을 재구성한다.
• 보간 간격 전역에서 균일한 근사화를 확보하기 위해 체비세프 분포 보간 점을 활용한다.
• 최근 다항식 보간 결과를 활용하여 강건한 재구성 단계에서 필요한 계산 능력을 BPPNP에서 BPP로 감소시킨다.
• 보간 중 유니터리 진동이 유지되어 양자 회로의 구조를 유지함을 이용한다.
• 보간 기법의 강건성을 적용하여 덧셈 오차 δ ≤ 2−O(m)를 가진 고전 알고리즘이 coC=P 난이도 문제를 해결하는 데 사용될 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 양자 회로의 고전적 난이도 결과에서 오차 스케일링을 2−O(m log m)에서 2−O(m)로 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 p=1 QAOA 회로의 출력 확률 근사화에 대해 평균 케이스 난이도를 입증할 수 있는가?
• RQ3 추가 추측 없이도 허수 결합을 가진 이징 분할 함수 근사화가 평균 케이스에서 어렵다는 것을 입증할 수 있는가?
• RQ4 이 proof에서 사용된 강건한 다항식 재구성은 BPPNP가 아니라 BPP에서 실행 가능할 수 있는가?
• RQ5 향상된 오차 스케일링은 샘플링에서 양자 우월성에 대해 더 강력한 증거를 제공하는가?

주요 결과

• m 게이트를 가진 Haar 랜덤 회로에 대해, 오차 2−O(m) 이내의 고전적 덧셈 근사화는 coC=P 난이도를 가지며, 이는 효율적 고전적 시뮬레이션이 다항식 계층을 붕괴시킨다는 것을 의미한다.
• 2−O(m) 오차 스케일링은 출력 확률의 잘린 테일러 급수 보간을 통해 달성되며, 이로 인해 다항식 차수는 O(m/log m)로 감소된다.
• 강건한 Berlekamp-Welch 알고리즘이 BPPNP에서 BPP로 개선되어 감소 능력이 강화된다.
• p=1 QAOA 회로에 대해 이는 출력 확률 근사화에 대해 평균 케이스 난이도를 입증하는 최초의 결과이며, 오차 2−O(n)에서 성립한다.
• 랜덤 IQP 회로에 대해 이 결과는 허수 결합을 가진 이징 분할 함수 근사화가 평균 케이스에서 coC=P 난이도를 가짐을 시사하며, 추가 추측이 필요하지 않다.
• 이 논문은 QAOA 및 IQP 회로에 대해 2−O(n) 오차 스케일링이 고전적 난이도를 유도하는 데 충분하며, 지수의 상수 인자에 대해 최적임을 보여준다.