[논문 리뷰] Average-Case Quantum Advantage with Shallow Circuits

François Le Gall|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 30.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 얕은 양자 회로를 사용하여 평균 케이스 양자 우월성을 확립한다. 고정된 깊이의 양자 회로로 해결 가능한 계산 관계를 구성함으로써, 이 관계는 유한한 팬인 수를 가진 게이트를 사용하는 고전적 회로가 입력의 비무시적인 비율에서 이를 해결하기 위해 로그 깊이를 가져야 한다는 것을 증명한다. 주요 결과는 이전의 최악 케이스 및 제한된 평균 케이스 결과를 강화하는 무조건적 평균 케이스 분리이다.

ABSTRACT

Recently Bravyi, Gosset and König (Science 2018) proved an unconditional separation between the computational powers of small-depth quantum and classical circuits for a relation. In this paper we show a similar separation in the average-case setting that gives stronger evidence of the superiority of small-depth quantum computation: we construct a computational task that can be solved on all inputs by a quantum circuit of constant depth with bounded-fanin gates (a "shallow" quantum circuit) and show that any classical circuit with bounded-fanin gates solving this problem on a non-negligible fraction of the inputs must have logarithmic depth. Our results are obtained by introducing a technique to create quantum states exhibiting global quantum correlations from any graph, via a construction that we call the \emph{extended graph}. Similar results have been very recently (and independently) obtained by Coudron, Stark and Vidick (arXiv:1810.04233), and Bene Watts, Kothari, Schaeffer and Tal (STOC 2019).

연구 동기 및 목표

• 얕은 양자 회로에서의 평균 케이스 경직성 증명을 통해 더 강력한 양자 우월성 형태를 확립하기.
• 얕은 양자 회로가 최악 케이스나 제한된 입력 설정 외의 평균 케이스 설정에서도 우월성을 제공하는지에 대한 열린 질문을 다루기.
• 고정된 깊이의 양자 회로가 모든 입력에서 정확하게 해결할 수 있는 계산 관계를 구성하기.
• 입력 분포에 대한 제약 조건을 제거함으로써 더 견고하고 일반적인 양자 우월성의 증거를 제공하기.

제안 방법

• 저자들은 그래프 구조에 기반한 양자 상태 구성에서 유도된 입력 크기 $ m = \Theta(d^6) $ 및 출력 크기 $ n = \Theta(d^6) $를 가진 기본 관계 $ R_d $ 를 정의한다.
• 양자 우월성을 증폭하기 위해 $ t \geq m^{27/8} $ 가 되도록 선택된 $ t $ 를 사용하여 텐서 곱 구성 $ \mathcal{R} = R_d^{\times t} $ 를 사용한다.
• 핵심 기술 도구로는 출력 상태에서 전역 양자 상관관계를 가능하게 하는 '확장된 그래프'의 구성이며, 이는 양자 회로가 관계를 확률 1로 해결할 수 있도록 한다.
• 회로의 선 의존성 분석을 통해 고전적 회로의 깊이 하한을 증명한다: 정보적으로 분리된 큰 독립 집합의 회로 복제본을 식별하기 위한 그래프 이론적 추론을 사용한다.
• 개별 복제본의 실패 확률에 기반한 농도 추론을 적용하여 전체 성공 확률이 고립된 복제본 수에 따라 지수적으로 감소함을 보인다.
• 최종 하한은 깊이 제약 조건과 성공 확률의 지수 감소를 조합하여 유도되며, $ (1 - \alpha)^{\sqrt{M}} $ 형태로 표현되며, 이는 초지수적으로 작은 값이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 팬인 수를 가진 얕은 양자 회로에 대해 무조건적 평균 케이스 양자 우월성을 입증할 수 있는가?
• RQ2 제한된 또는 최악 케이스 입력 외의 랜덤 입력을 고려할 때도 양자 우월성이 유지되는가?
• RQ3 모든 입력에서 고정된 깊이의 양자 회로로 해결 가능한 계산 관계를 구성할 수 있는가? 그러나 입력의 비무시적인 비율에서 이를 해결하기 위해 고전적 유한한 팬인 수를 가진 회로가 로그 깊이가 필요하다면 말이다.
• RQ4 어떤 양자 회로의 구조적 특성이 고전적 회로가 낮은 깊이로 재현할 수 없는 전역 상관관계를 가능하게 하는가?

주요 결과

• 입력 집합 $ \{0,1\}^M $ 과 출력 집합 $ \{0,1\}^N $ 사이의 계산 관계 $ \mathcal{R} \subseteq \{0,1\}^M \times \{0,1\}^N $ 가 구성되었으며, 이는 유한한 팬인 수를 가진 고정된 깊이의 양자 회로로 확률 1로 해결 가능하다.
• 입력의 비무시적인 비율에서 $ \mathcal{R} $ 를 해결하기 위해 고전적 랜덤화된 회로가 유한한 팬인 수를 가진 게이트를 사용할 경우 깊이 $ \Omega(\log M) $ 가 필요하며, 성공 확률이 $ 1/\exp(\gamma \sqrt{M}) $ 수준이어도 마찬가지다. 여기서 $ \gamma > 0 $ 이다.
• 하위로그 심도를 가진 고전적 회로의 성공 확률은 $ \sqrt{M} $ 에 대해 지수적으로 감소하며, 특정한 $ \alpha > 0 $ 에 대해 $ (1 - \alpha)^{\sqrt{M}} $ 로 유계된다.
• 이 구성은 임의의 입력 그래프에서 전역 양자 상관관계를 생성하는 데 사용되는 '확장된 그래프'를 활용한 새로운 양자 상태 생성 방법에 의존한다.
• 결과는 입력 집합 $ \{0,1\}^M $ 의 전체 균일 분포에 대해 성립하며, 부분집합으로 제한하지 않아 이전의 평균 케이스 결과를 강화한다.
• 하한은 복잡도 이론적 가정(예: 다항시간 계층의 붕괴가 일어나지 않는다는 것)에 의존하지 않으며 무조건적이다.