[논문 리뷰] Average distance of random pure states from maximally entangled and coherent states

Kaifeng Bu, Uttam Singh외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 22.

Quantum Information and Cryptography인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 세 가지 거리 측도를 사용하여 하르-랜덤 순수 양자 상태가 최대 얽힘 상태와 최대 양자 간섭 상태로부터 평균적으로 얼마나 떨어져 있는지를 조사한다. 이는 대규모 힐베르트 공간에서 최대 얽힘 상태로의 평균 거리가 여전히 비영임을 보여주지만, 스케일링된 $ l_1 $-노름의 양자 간섭도는 $ \pi/4 $ 근처에 집중됨을 보여주며, 이는 측도 집중 원리에 의한 일반성의 특성을 입증한다.

ABSTRACT

It is well known that random bipartite pure states are typically maximally entangled within an arbitrarily small error. Showing that the marginals of random bipartite pure states are typically extremely close to the maximally mixed state, is a way to prove the above. However, a more direct way to prove the above is to estimate the distance of random bipartite pure states from the set of maximally entangled states. Here, we find the average distance between a random bipartite pure state and the set of maximally entanglement states as quantified by three different quantifiers of the distance and investigate the typical properties of the same. We then consider random pure states of a single quantum system and give an account of the typicality of the average $l_1$ norm of coherence for these states scaled by the maximum value of the $l_1$ norm of coherence. We also calculate the variance of the $l_1$ norm of coherence of random pure states to elaborate more on the typical nature of the scaled average $l_1$ norm of coherence. Moreover, We compute the distance of a random pure state from the set of maximally coherent states and obtain the average distance.

연구 동기 및 목표

• 세 가지 다른 거리 측도를 사용하여 하르-분포를 따르는 이질적 순수 양자 상태와 최대 얽힘 상태 집합 사이의 평균 거리를 특성화하는 것.
• 특히 최대 가능 양자 간섭도에 대한 비율로 스케일링된 값에 대해, 단일 시스템에서의 무작위 순수 상태에 대한 $ l_1 $-노름의 일반성을 조사하는 것.
• 고차원 힐베르트 공간에서의 일반성 행동을 평가하기 위해 $ l_1 $-노름의 양자 간섭도의 분산을 계산하고 분석하는 것.
• 상대 엔트로피의 양자 간섭도와 비교하여 $ l_1 $-노름의 양자 간섭도의 일반성을 탐구하며, 점 渐진적 행동의 차이를 부각하는 것.
• $ \alpha $-고전적 순수도로의 분석을 확장하고, $ \alpha $의 값에 따라 집중 또는 발산 여부를 보여주는 것.

제안 방법

• 이질적 및 단일 큐디트 시스템에서 하르 측도를 사용하여 무작위 순수 상태를 샘플링하는 것.
• 최대 얽힘 상태로부터의 거리를 측정하기 위해 세 가지 거리 메트릭스—정밀도, 트레이스 거리, 바우레스 거리—를 사용하는 것.
• 상태의 대각 부분의 고유값에 대한 딜리클레 분포에 대한 통합을 통해 $ l_1 $-노름의 양자 간섭도의 기대값과 분산을 유도하는 것.
• 레비의 보조정리를 적용하여 대규모 $ N $ 근처에서 스케일링된 $ l_1 $-노름의 양자 간섭도가 $ \pi/4 $ 근처에 집중됨을 입증하는 것.
• $ \alpha $-고전적 순수도 $ \mathbb{E}[\mathrm{Tr}((\psi^{(\mathrm{d})})^\alpha)] $ 를 계산하고, $ \alpha \in (0,1) \cup (1,\infty) $ 에서의 분산을 분석하여 집중 행동을 결정하는 것.
• 감마 함수 항등식과 딜리클레 분포의 성질을 사용하여 순수 상태의 대각 성분의 모멘트를 평가하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 거리 측도 하에서 하르-랜덤 이질적 순수 양자 상태와 최대 얽힘 상태 집합 사이의 평균 거리는 얼마인가요?
• RQ2 최대 가능 양자 간섭도로 스케일링된 무작위 순수 상태의 $ l_1 $-노름의 양자 간섭도는 고정된 값 근처에 집중되는가요?
• RQ3 고차원 힐베르트 공간에서 $ l_1 $-노름의 양자 간섭도의 분산은 어떻게 행동하며, 이는 일반성에 어떤 의미를 갖는가요?
• RQ4 대규모 $ N $ 근처에서 $ l_1 $-노름의 양자 간섭도의 일반적 행동은 상대 엔트로피의 양자 간섭도와 어떻게 비교되는가요?
• RQ5 무작위 순수 상태의 $ \alpha $-고전적 순수도는 차원 $ N \to \infty $ 에서 집중되는가요? 만약 그렇다면, 어떤 $ \alpha $ 값에서 그러한 집중이 발생하나요?

주요 결과

• 대규모 힐베르트 공간 근처에서 하르-랜덤 이질적 순수 양자 상태와 최대 얽힘 상태 집합 사이의 평균 거리는 여전히 비영이므로, 이러한 상태들이 이 거리 측도 하에서 최대 얽힘 상태와 渐진적으로 구별될 수 있음을 나타낸다.
• 스케일링된 $ l_1 $-노름의 양자 간섭도의 기대값은 $ \mathbb{E}[C_{l_1}(\psi)/C^{\max}_{l_1}] = \pi/4 \approx 0.785 $ 이며, 이는 1보다 작게 나타나 typical 상태가 최대 간섭 상태가 아님을 시사한다.
• $ l_1 $-노름의 양자 간섭도의 분산은 차원 $ N \to \infty $ 에서 0으로 수렴하므로, 스케일링된 $ l_1 $-노름의 양자 간섭도가 $ \pi/4 $ 근처에 집중됨을 의미하며, 이는 측도 집중 원리에 의한 일반성의 특성을 입증한다.
• $ \alpha > 1 $ 인 경우, $ \mathrm{Tr}[(\psi^{(\mathrm{d})})^\alpha] $ 의 $ \alpha $-고전적 순수도는 차원이 커질수록 분산이 사라지므로 0으로 수렴한다.
• $ \alpha \in (0,1) $ 인 경우, $ \alpha $-고전적 순수도의 분산은 $ N \to \infty $ 에서 발산하므로, 이 영역에서는 측도 집중이 발생하지 않음을 나타낸다.
• 상대 엔트로피의 양자 간섭도는 대규모 $ N $ 근처에서 점 渐진적으로 1에 수렴하는 반면, $ l_1 $-노름은 $ \pi/4 $ 에 수렴하므로, 이는 두 양자 간섭도 측도 사이의 일반성 행동에 근본적인 차이가 있음을 강조한다.