[논문 리뷰] Averages of shifted convolutions of $d_3(n)$

Stephan Baier, T. D. Browning외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 28.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원주율 방법과 모멘트 추정을 사용하여 삼중 약수 함수 $d_3(n)$에 대한 이동 컨볼루션 합의 점점 커지는 행동을 조사한다. 오차 항 $\Delta(N,h)$의 첫 번째 및 두 번째 모멘트에 대한 경계를 확립하여, 넓은 범위에서 거의 모든 $h$에 대해 기대되는 점점 커지는 공식이 성립함을 보이며, 리만 제타 함수의 여섯 번째 모멘트에 대한 추측을 지지한다.

ABSTRACT

We investigate the first and second moments of shifted convolutions of the generalised divisor function $d_3(n)$.

연구 동기 및 목표

• 이동 컨볼루션 합 $D_3(N,h) = \sum_{N<n\leq 2N} d_3(n)d_3(n+h)$의 추측된 점점 커지는 행동에 대한 이론적 지원을 제공하기 위해.
• 오차 항 $\Delta(N,h) = D(N,h) - \int_N^{2N} \mathfrak{S}(x,h)\,dx$의 첫 번째 및 두 번째 모멘트에 대한 경계를 확립하기 위해.
• 이러한 모멘트와 임계선에서 리만 제타 함수의 여섯 번째 모멘트 사이의 연결고리를 조사하기 위해.
• 원주율 방법 프레임워크 내에서 모멘트 추정을 통해 추측된 특별한 급수 구조 $\mathfrak{S}(x,h)$를 검증하기 위해.

제안 방법

• 첫 번째 모멘트는 페론의 공식과 $\zeta(s)$의 여섯 번째 모멘트에 대한 경계를 사용하여 분석된다.
• 두 번째 모멘트는 쌍둥이 소수 연구에서 유래한 미카와의 방법의 변형을 사용하여 다루며, 원주율 방법과 소수 구간에서의 $L^2$-유형 추정을 활용한다.
• 특별한 급수 $\mathfrak{S}(x,h)$는 $d_3(n)$의 산술적 구조를 반영하는 $P(x,q)$를 포함하는 잔여치 적분을 통해 정의된다.
• 주 구간은 분할된 유리수 근사에 대한 합으로 컨볼루션 합을 표현하고, 잔여치 정리를 사용하여 주항목을 평가함으로써 분석된다.
• 소수 구간은 적분을 이중 구역으로 나누고, 지수 합 추정을 사용하여 $L^2$-유형 추정을 적용함으로써 다뤄진다.
• 핵심 구성 요소로는 $G_{k,d}(s)$, $g(s,q)$, $H(s,q)$가 있으며, 이들은 오일러乘수를 통해 $d_3(n)$의 곱셈적 구조를 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 컨볼루션 합 $D_3(N,h)$의 오차 항 $\Delta(N,h)$는 적절한 평균 경계를 만족하는가?
• RQ2 추측된 특별한 급수 $\mathfrak{S}(x,h)$는 모멘트 추정을 통해 정당화될 수 있는가?
• RQ3 어떤 $h$의 범위에서 점점 커지는 공식 $D(N,h) \sim \int_N^{2N} \mathfrak{S}(x,h)\,dx$가 거의 모든 $h$에 대해 성립하는가?
• RQ4 오차 항 $\Delta(N,h)$의 첫 번째 및 두 번째 모멘트는 $\zeta(1/2 + it)$의 여섯 번째 모멘트와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 첫 번째 모멘트는 $1 \leq H \leq N$일 때 $\sum_{h \leq H} \Delta(N,h) \ll (H^2 + H^{1/2}N^{13/12})N^{\varepsilon}$를 만족하며, 이는 $D(N,h)$에 대한 추측된 점점 커지는 공식을 지지한다.
• 특히 $N^{1/3+\varepsilon} \leq H \leq N^{1-\varepsilon}$일 때, 두 번째 모멘트는 $\sum_{h \leq H} |\Delta(N,h)|^2 \ll H N^{2-\delta}$를 만족하며, 이는 이 범위 내에서 거의 모든 $h$에 대해 점점 커지는 공식이 성립함을 의미한다.
• 첫 번째 모멘트의 경계는 $I_3(T) \ll T^{11/8+\varepsilon}$를 유도하지만, 이는 알려진 지수 $5/4+\varepsilon$를 향상시키지 못한다.
• 주항목 $\int_N^{2N} \mathfrak{S}(x,h)\,dx$는 $h \leq N^{1-\eta}$일 때 오차 $O(N^{1-\delta_{10}})$까지 점점 커지는 것으로 밝혀졌다.
• 특별한 급수 $\mathfrak{S}(x,h)$는 잔여치 적분 $P(x,q)$를 통해 산술 평균 $d_3(n)$과 엄밀히 연결됨이 입증되었다.