[논문 리뷰] Averaging for nonlinear systems evolving on Riemannian manifolds

Farzin Taringoo, Dragan Nešić외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 11.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 미분기하학, 특히 Levi-Civita 접속과 리만 거리 함수를 활용하여 비선형 동역계 시스템의 평균화 이론을 리만 다양체로 확장한다. 유한 및 무한 시간 영역에서 원래 시스템과 평균화된 시스템의 해가 유사함을 입증하며, 컴팩트성과 국소 안정성 조건 하에서 점점 줄어드는 안정성 및 지수 안정성 결과를 도출한다. 응용 사례는 토러스 다양체에서 제시된다.

ABSTRACT

This paper presents an averaging method for nonlinear systems defined on Riemannian manifolds. We extend closeness of solutions results for ordinary differential equations on $R^{n}$ to dynamical systems defined on Riemannian manifolds by employing differential geometry. A generalization of closeness of solutions for periodic dynamical systems on compact time intervals is derived for dynamical systems evolving on compact Riemannian manifolds. Under local asymptotic (exponential) stability of the average vector field, we further relax the compactness of the ambient Riemannian manifold and obtain the closeness of solutions on the infinite time interval by employing the notion of uniform normal neighborhoods of an equilibrium point of a vector field. These results are also presented for time-varying dynamical systems where their averaged systems are almost globally asymptotically or exponentially stable on compact manifolds. The main results of the paper are illustrated by several examples.

연구 동기 및 목표

• 유럽 공간에서 비선형 시스템의 평균화 방법을 리만 다양체로 일반화하기 위해.
• 원래 시간에 따라 변하는 시스템과 그 평균화된 형태 사이의 해의 유사성을 컴팩트 리만 다양체에서 확립하기 위해.
• 평균화된 시스템의 국소 점근적 또는 지수 안정성 조건을 활용하여 유한 시간 유사성 결과를 무한 시간 영역으로 확장하기 위해.
• 균일 정규 이웃 및 지오데식 유일성과 같은 기하학적 구조를 활용하여 유클리드와 리만 안정성 분석을 연결하기 위해.
• 토러스와 같은 컴팩트 다양체에서의 수치 예제를 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 리만 다양체에서의 공변도 및 지오데식 흐름을 정의하기 위해 Levi-Civita 접속을 활용하기 위해.
• 해의 유사성을 측정하기 위해 유클리드 거리 대신 리만 거리 함수를 거리 척도로 사용하기 위해.
• 균형점 주변의 전콤팩트 이웃에서 리만 계량을 유클리드 계량으로 유계화하기 위해 스케일링 기법을 적용하기 위해.
• 유일한 최소화 지오데식과 지수 함수의 국소 단사성을 보장하기 위해 균일 정규 이웃을 활용하기 위해.
• 리만 설정으로의 표준 안정성 이론의 적응을 위해, 국소적으로 음의정의된 Lie 도함수를 갖는 리아푸노프 함수를 활용하기 위해.
• 토러스에서의 동역계 시스템을 수치 시뮬레이션하여, 다양한 교란 매개변수(ε = 0.1 및 ε = 0.03) 하에서 해의 유사성을 입증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 시스템의 평균화 이론을 R^n에서 컴팩트 리만 다양체로 확장할 수 있으며, 해의 유사성 결과가 유지되는가?
• RQ2 평균화 프레임워크에서 해의 유사성이 무한 시간 동안 유지되도록 하기 위해 안정성 개념을 리만 다양체에 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 지오데식 유일성 및 정규 이웃과 같은 리만 다양체의 기하학적 성질이 유클리드 평균화 결과의 확장을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ4 평균화된 시스템의 국소 점근적 또는 지수 안정성이 컴팩트 다양체에서 전역 또는 거의 전역 안정성으로 이르는 조건은 무엇인가?
• RQ5 안정성 및 유사성 분석을 촉진하기 위해 리만 계량을 국소적으로 유클리드 계량과 어떻게 비교할 수 있는가?

주요 결과

• 컴팩트 리만 다양체에서, 평균화된 시스템이 국소 점근적 또는 지수 안정성을 갖는다면, 원래 시스템과 평균화된 시스템의 해는 무한 시간 간격 동안 O(ε)-유사하게 유지된다.
• 균일 정규 이웃과 스케일링을 통한 리만 계량과 유클리드 계량의 국소 등가성에 기반하여, 해의 유사성이 무한 시간 영역에서 확립된다.
• 컴팩트 다양체에서 평균화된 시스템의 거의 전역 점근적 안정성이 성립하면, ε가 충분히 작을 경우 모든 궤적이 t ≥ t₀ 에서 균형점의 임의로 작은 δ-이웃에 머무르게 된다.
• 토러스에서의 수치 결과는 ε = 0.1 및 ε = 0.03 일 때에도 t ∈ [0, ∞) 동안 명목 시스템과 평균화된 시스템의 궤적이 O(ε)-유사하게 유지됨을 확인한다.
• 정규 이웃 내에서 유일한 최소화 지오데식의 존재는 리만 거리 함수를 활용한 해 궤적 간 엄밀한 비교를 가능하게 하며, 고전적 평균화 결과의 확장을 가능하게 한다.
• 국소적으로 음의정의된 Lie 도함수를 갖는 리아푸노프 함수는 평균화된 시스템의 국소 안정성을 보장하며, 제안된 프레임워크 하에서 장기적인 해의 유사성을 확보하는 데 충분하다.