[논문 리뷰] Averaging metric phylogenetic trees

Ezra Miller, Megan Owen외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 29.

Morphological variations and asymmetry참고 문헌 49인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 비음성 곡률을 가진 트리 공간의 기하학을 이용하여 거리형 계통수 나무의 프레셰 평균을 계산하는 계산 방법을 개발한다. 트리 공간은 유클리드 직각형의 조합으로 이루어진 비음성 곡률을 가진 공간이다. 논문은 트리 공간의 다면체 분할을 제안하여 분산 함수의 연속 미분 가능성을 보장하고, 슈름의 대수법칙과 볼록 다면체 위의 강하 방법에 기반한 두 가지 반복 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘들은 모두 프레셰 평균으로 수렴한다.

ABSTRACT

This paper investigates the computational geometry relevant to calculations of the Frechet mean and variance for probability distributions on the phylogenetic tree space of Billera, Holmes and Vogtmann, using the theory of probability measures on spaces of nonpositive curvature developed by Sturm. We show that the combinatorics of geodesics with a specified fixed endpoint in tree space are determined by the location of the varying endpoint in a certain polyhedral subdivision of tree space. The variance function associated to a finite subset of tree space is continuously differentiable within each cell of the corresponding subdivision. We use this subdivision to establish two iterative methods for producing sequences that converge to the Frechet mean: one based on Sturm's Law of Large Numbers, and another based on descent algorithms for finding optima of smooth functions on convex polyhedra. We present properties and biological applications of Frechet means and extend our main results to more general globally nonpositively curved spaces composed of Euclidean orthants.

연구 동기 및 목표

• 거리형 계통수 나무 공간에서 프레셰 평균을 계산하는 계산적으로 실현 가능한 방법을 개발하는 것.
• 고정된 종점이 있는 트리 공간 내 기하학적 최단 경로의 조합적 구조를 이해하는 것.
• 분산 함수가 연속적으로 미분 가능해지는 조건을 설정하는 것.
• 유클리드 직각형으로 이루어진 일반적인 전역적으로 비음성 곡률을 가진 공간으로 프레셰 평균 이론을 확장하는 것.
• 계산 알고리즘을 통해 계통수학에서 프레셰 평균의 생물학적 응용을 제공하는 것.

제안 방법

• 논문은 비음성 곡률 공간 위의 확률 측도 이론을 이용하여 트리 공간 내 프레셰 평균과 분산을 정의한다.
• 고정된 종점과 함께 기하학적 최단 경로의 구조가 각 셀 내에서 변하는 종점의 위치에만 의존하는 방식으로 트리 공간의 다면체 분할을 구성한다.
• 이 분할의 각 셀 내에서 분산 함수가 연속적으로 미분 가능하다는 것이 입증된다.
• 슈름의 대수법칙에 기반한 반복 알고리즘을 제안하여 프레셰 평균으로 수렴하도록 한다.
• 연속적인 볼록 함수에 대한 강하 방법을 이용하여 분산 함수를 최소화하는 두 번째 알고리즘을 제시한다.
• 결과는 유클리드 직각형으로 이루어진 일반적인 전역적으로 비음성 곡률을 가진 공간으로 확장되며, 계통수 나무를 넘어서는 프레임워크를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 수의 거리형 계통수 나무 집합의 프레셰 평균을 트리 공간에서 효율적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 한 종점이 고정된 경우 트리 공간 내 기하학적 최단 경로의 조합적 구조는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 트리 공간의 어느 영역에서 분산 함수가 연속적으로 미분 가능한가?
• RQ4 트리 공간의 기하학적 구조를 활용하여 프레셰 평균으로 수렴하는 반복 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ5 유클리드 직각형으로 이루어진 일반적인 비음성 곡률 공간으로 프레CHASE 평균 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 종점이 있는 트리 공간 내 기하학적 최단 경로의 구조는 트리 공간의 특정 다면체 분할 내에서 변하는 종점의 위치에 의해 결정된다.
• 트리 공간의 유한한 부분집합과 관련된 분산 함수는 해당 다면체 분할의 각 셀 내에서 연속적으로 미분 가능하다.
• 두 가지 반복 알고리즘이 프레CHASE 평균으로 수렴하도록 확립되었다: 하나는 슈름의 대수법칙에 기반하고, 다른 하나는 부드러운 볼록 함수에 대한 강하 방법을 사용한다.
• 트리 공간의 전역적 비음성 곡률과 분산 함수의 유일한 최소화자 존재성 덕분에 프레CHASE 평균은 잘 정의되고 계산 가능하다.
• 프레CHASE 평균 이론은 유클리드 직각형으로 이루어진 일반적인 전역적으로 비음성 곡률 공간으로 확장되어 계통수 나무를 넘어서는 적용 가능성을 넓혔다.
• 제안된 방법의 계산 가능성과 기하학적 기초 덕분에 계통수학에서 프레CHASE 평균의 생물학적 응용이 뒷받침된다.