[논문 리뷰] Averaging principle for slow-fast stochastic differential equations with time dependent locally Lipschitz coefficients

Wei Liu, Michael Röckner외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간에 의존하는 국소 리프시츠 계수를 갖는 느린-빠른 스트로복티크 미분 방정식에 대한 평균화 원리를 수립한다. 시간 이산화와 절단 기법을 활용하여, 작은 매개수 $\epsilon \to 0$ 일 때, 느린 성분이 $L^p(\Omega; C([0,T], \mathbb{R}^n))$ 의미에서 평균화된 방정식의 해로 강한 수렴을 증명한다. 이는 동결된 빠른 동역학에 대해 불변 측도의 존재성과 유일성을 보장하는 조건 하에 성립한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to studying the averaging principle for stochastic differential equations with slow and fast time-scales, where the drift coefficients satisfy local Lipschitz conditions with respect to the slow and fast variables, and the coefficients in the slow equation depend on time $t$ and $ω$. Making use of the techniques of time discretization and truncation, we prove that the slow component strongly converges to the solution of the corresponding averaged equation.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하고 국소 리프시츠 계수를 갖는 느린-빠른 스트로복티크 시스템에 대한 평균화 원리를 수립하기 위해.
• 편향 계수에서 시간과 $\omega$에 대한 비-마코프의 의존성 문제를 다루기 위해.
• 경로 공간에서 느린 성분이 평균화된 방정식의 해로 강한 수렴을 증명하기 위해.
• 시간에 의존하는 계수 하에서 동결된 빠른 방정식에 대해 불변 측도의 존재성과 유일성을 보장하기 위해.
• 기존의 평균화 결과를 전역 리프시츠나 시간 동질이 아닌 경우로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 계수의 시간 의존성 처리를 위해 시간 이산화 기법을 사용하기 위해.
• 국소 리프시츠 성장과 적분 가능성 확보를 위해 절단 기법을 적용하기 위해.
• 전역 리프시츠 계수를 갖는 근사 방정식의 수열을 구성하기 위해.
• 모멘트 추정과 그론월드 유형의 추론을 통해 경로별 강한 수렴을 증명하기 위해.
• 동결된 빠른 과정의 불변 측도 $\mu^{t,x}$ 를 사용하여 평균화된 방정식 유도하기 위해.
• 스트로복티크 미분과 이토의 공식을 활용하여 느린 성분의 수렴 분석하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 의존하고 국소 리프시츠 계수를 갖는 느린-빠른 SDE의 느린 성분이 평균화된 방정식의 해로 강한 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 계수가 시간 $t$와 표본 경로 $\omega$에 모두 의존하는 시스템으로 평균화 원리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 계수가 시간에 의존할 경우, 편향 및 분산 계수의 국소 리프시츠 연속성을 다루기 위해 어떤 기법이 필요한가?
• RQ4 시간에 의존하는 계수의 경우, 동결된 빠른 방정식의 불변 측도 $\mu^{t,x}$ 는 잘 정의되고 의미적으로 유의미하게 사용될 수 있는가?
• RQ5 이러한 시스템에서 강한 $L^p$ 경로 수렴의 수렴 속도 또는 성격은 어떠한가?

주요 결과

• 느린 성분 $X^\epsilon$ 는 $\epsilon \to 0$ 일 때 $L^p(\Omega; C([0,T], \mathbb{R}^n))$ 위상에서 $\bar{X}$ 로 강하게 수렴하며, $\lim_{\epsilon \to 0} \mathbb{E}\left(\sup_{t \in [0,T]} |X^\epsilon_t - \bar{X}_t|^p\right) = 0$ 이다. 이는 어떤 $p > 0$ 에 대해 성립한다.
• 평균화된 방정식은 $d\bar{X}_t = \bar{b}(t, \bar{X}_t)dt + \sigma(t, \bar{X}_t)dW^1_t$ 로 주어지며, 여기서 $\bar{b}(t,x) = \int_{\mathbb{R}^m} b(t,x,y) \mu^{t,x}(dy)$ 이다.
• 적절한 조건 하에 동결된 방정식 $dY_s = f(t,x,Y_s)ds + g(t,x,Y_s)d\tilde{W}^2_s$ 에 대해 불변 측도 $\mu^{t,x}$ 가 존재하고 유일하다.
• 계수 $\bar{b}(t,x)$ 는 시간에 의존하고 적분 가능한 모듈러스 $\bar{K}_t(R)$ 를 갖는 국소 리프시츠 조건을 만족함을 보여, 평균화된 SDE의 경로 유일성을 보장한다.
• 증명은 국소 리프시츠 행동을 제어하고 계수 성장의 적분 가능성을 확보하기 위해 절단과 시간 이산화에 의존한다.
• 성장률 $K_t(R)$ 의 유계성 가정 하에, $X^\epsilon$ 과 $\bar{X}$ 의 차이에 대해 모멘트 추정과 그론월드 유형 부등식을 적용하여 수렴을 확립한다.