[논문 리뷰] Averaging principle for two dimensional stochastic Navier-Stokes equations

Shihu Li, Xiaobin Sun외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 느린 성분이 2D 스토크래틱 나비에-스토크스 방정식이고 빠른 성분이 스토크래틱 반응-확산 방정식인 이중 시간 척도 시스템에 대해 강한 평균화 원리를 확립한다. 카스미스크이 시간 이산화 접근법을 사용하여, 적절한 조건 하에서 느린 성분이 평균화된 방정식의 해로 강하게 수렴함을 증명한다. 비선형 항과 다중성 소음의 도전 과제는 정지 시간 기법과 초기 자료에 대한 소볼레프 정규성 가정을 통해 극복된다.

ABSTRACT

The averaging principle is established for the slow component and the fast component being two dimensional stochastic Navier-Stokes equations and stochastic reaction-diffusion equations, respectively. The classical Khasminskii approach based on time discretization is used for the proof of the slow component strong convergence to the solution of the corresponding averaged equation under some suitable conditions. Meanwhile, some powerful techniques are used to overcome the difficulties caused by the nonlinear term and to release the regularity of the initial value.

연구 동기 및 목표

• 느린 성분이 2D 스토크래틱 나비에-스토크스 방정식이고 빠른 성분이 스토크래틱 반응-확산 방정식인 다중 척도 시스템에 대해 강한 평균화 원리를 확립하는 것.
• 나비에-스토크스 방정식 내 비선형 항과 다중성 소음이 존재하는 상황에서 강한 수렴을 다루는 것.
• 초기 자료에 대한 정규성 요구 조건을 완화하기 위해 $ H^\theta $에 속하는 초기값이 필요 없도록 하되, 정밀한 추정을 통해 이를 달성하는 것.
• 전통적인 카스미스크이 접근법을 비선형성과 다중성 소음이 있는 SPDE에 확장하여 강한 수렴을 보장하는 것.

제안 방법

• 시간 간격 $[0,T]$를 $ \varepsilon $에 따라 의존하는 크기 $ \delta $의 부분 간격으로 나누는 카스미스크이 시간 이산화 방법을 적용한다.
• 각 부분 간격에서 느린 성분과 빠른 성분을 분리하기 위해 보조 과정 $ (\hat{X}_t^\varepsilon, \hat{Y}_t^\varepsilon) $ 를 도입한다.
• 정지 시간 기법을 사용하여 정지 시간 이전에 $ |X_t^\varepsilon - \bar{X}_t| $ 의 차이를 제어하기 위해 $ |X_t^\varepsilon - \hat{X}_t^\varepsilon| $ 와 $ |\hat{X}_t^\varepsilon - \bar{X}_t| $ 를 각각 유계화한다.
• 사전 추정을 적용하여 정지 시간 이후의 차이를 제어함으로써 확률적으로 균일한 수렴을 보장한다.
• 겔판드 트리플 $ \mathcal{V} \subset \mathcal{H} \subset \mathcal{V}' $ 내에서 SPDE 시스템의 강제성과 국소 단조성을 확립하며, 소볼레프 및 $ L^4 $-노름 추정을 사용한다.
• 유한 차원 갈레르킨 근사와 약한 수렴 논리를 사용하며, SPDE 설정에서 계수들이 충족해야 할 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 시간 척도 2D 스토크래틱 나비에-스토크스 시스템의 느린 성분이 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 평균화된 방정식의 해로 강하게 수렴하는가?
• RQ2 전통적인 카스미스크이 접근법을 비선형 나비에-스토크스 항과 다중성 소음이 있는 SPDE에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ3 이러한 시스템의 강한 평균화 원리에서 초기 자료에 대한 정규성 요구 조건은 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ4 비선형성 $ f $, $ g $ 및 소음 계수 $ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $ 에 어떤 조건이 강한 수렴을 보장하는가?
• RQ5 정지 시간 기법과 시간 이산화 방법은 수렴 증명에서 비선형성과 다중성 소음 항을 어떻게 제어하는가?

주요 결과

• 느린 성분 $ X_t^\varepsilon $ 는 모든 $ p \geq 1 $ 에 대해 $ \lim_{\varepsilon \to 0} \mathbb{E}\left( \sup_{t \in [0,T]} |X_t^\varepsilon - \bar{X}_t|^{2p} \right) = 0 $ 이라는 의미에서 평균화된 해 $ \bar{X}_t $ 로 강하게 수렴한다.
• 속도 차이의 정밀한 $ L^4 $-노름 추정과 정지 시간 기법을 사용하여 나비에-스토크스 방정식 내 비선형 항의 곤경을 극복한다.
• 강제성 조건은 $ \langle \tilde{A}w + F(w), w \rangle + |\sigma(w)|^2_{\mathcal{L}_Q} \leq -C_\varepsilon \|w\|^2_{\mathcal{V}} + C(1 + |w|^2_{\mathcal{H}}) $ 로 확인되며, 안정성을 보장한다.
• 국소 단조성은 $ \langle \tilde{A}w_1 + F(w_1) - \tilde{A}w_2 - F(w_2), w_1 - w_2 \rangle + |\sigma(w_1) - \sigma(w_2)|^2_{\mathcal{L}_Q} \leq C(1 + |u_2|_{L^4}^4) |w_1 - w_2|^2_{\mathcal{H}} $ 로 확립된다.
• 초기 자료가 $ H^\theta $ 에 속할 필요 없이, 철저한 경로 기반 제어를 통해 덜 규칙적인 초기 조건을 허용한다.
• 비선형성 $ f $, $ g $, 소음 계수 $ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $ 에 대해 표준적인 가정(리프시츠 연속성 및 도함수의 유계성)이 충족되면 수렴 결과가 성립한다.