[논문 리뷰] Avoiding symmetry roadblocks and minimizing the measurement overhead of adaptive variational quantum eigensolvers

V. O. Shkolnikov, Nicholas J. Mayhall외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대칭성에 적합한 최소 크기의 연산자 풀을 제안하여 적응형 변량 양자 고유값 해법(ADAPT-VQE)의 측정 오버헤드를 큐비트 수에 대해 4차에서 선형으로 감소시킨다. 대칭 제약 조건을 만족할 때 정확히 2n−2개의 선택된 파울리 스트링이 전체 하이르베르트 공간을 커버할 수 있음을 증명함으로써, 강한 상관관계를 가진 시스템에서 더 적은 양자 자원으로 효율적이고 수렴 가능한 기본 상태 에너지 추정이 가능해진다.

ABSTRACT

Quantum simulation of strongly correlated systems is potentially the most feasible useful application of near-term quantum computers. Minimizing quantum computational resources is crucial to achieving this goal. A promising class of algorithms for this purpose consists of variational quantum eigensolvers (VQEs). Among these, problem-tailored versions such as ADAPT-VQE that build variational ansätze step by step from a predefined operator pool perform particularly well in terms of circuit depths and variational parameter counts. However, this improved performance comes at the expense of an additional measurement overhead compared to standard VQEs. Here, we show that this overhead can be reduced to an amount that grows only linearly with the number $n$ of qubits, instead of quartically as in the original ADAPT-VQE. We do this by proving that operator pools of size $2n-2$ can represent any state in Hilbert space if chosen appropriately. We prove that this is the minimal size of such "complete" pools, discuss their algebraic properties, and present necessary and sufficient conditions for their completeness that allow us to find such pools efficiently. We further show that, if the simulated problem possesses symmetries, then complete pools can fail to yield convergent results, unless the pool is chosen to obey certain symmetry rules. We demonstrate the performance of such symmetry-adapted complete pools by using them in classical simulations of ADAPT-VQE for several strongly correlated molecules. Our findings are relevant for any VQE that uses an ansatz based on Pauli strings.

연구 동기 및 목표

• ADAPT-VQE에서 큐비트 수에 따라 4차적으로 증가하는 높은 측정 오버헤드 문제를 해결하여 근접한 양자 우월성을 제한하는 것을 목표로 한다.
• 대칭 제약 조건 하에서 하이르베르트 공간의 임의의 양자 상태를 표현할 수 있는 최소 크기의 연산자 풀을 규명하는 것.
• 수렴성을 보장하는 완전하고 최소 크기의 연산자 풀을 구성하기 위한 대수적 및 대칭 기반 기준을 설정하는 것.
• 보존되는 양자 수(예: 입자 수, 스핀)를 가진 시스템에서 수렴 실패를 방지하기 위해 대칭성에 적합한 풀이 필요함을 입증하는 것.
• 최적화된 풀을 사용한 고전적 ADAPT-VQE 시뮬레이션을 통해 강한 상관관계를 가진 분자에 대한 효율적이고 확장 가능한 VQE 시뮬레이션을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 참조 상태의 대칭성을 유지하도록 선택된 2n−2개의 연산자 풀이 하이르베르트 공간 전체를 커버할 수 있음을 증명한다. 예를 들어 입자 수와 스핀과 같은 관련 대칭성을 유지한다.
• 풀의 완전성을 위한 필요 및 충분 조건을 유도한다. 이는 대칭 보존 및 정확히 네 개의 X/Y 파울리 연산자 수를 포함하는 것(하트리-폭-기반 참조 상태에 대해)을 포함한다.
• 각 파울리 스트링이 하트리-폭 기반 상태의 양자 수를 보존하도록 조건을 부여하여 대칭성에 적합한 연산자 풀을 구성한다.
• 요르단-바이어 맵핑을 사용하여 페르미온 해밀토니안을 큐비트 연산자로 변환하고, 파울리 스트링의 진화를 통해 안사 공간을 정의한다.
• 유지된 최소 크기의 대칭성 보존 풀을 사용하여 고전적 ADAPT-VQE 시뮬레이션을 구현함으로써 수렴성과 효율성을 검증한다.
• 이 방법을 베리움 수소화물(BeH₂) 및 기타 강한 상관관계를 가진 분자에 적용하여 표준 ADAPT-VQE와 수렴성 및 측정 비용을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VQE에서 대칭을 고려할 때 하이르베르트 공간 전체를 커버할 수 있는 최소 크기의 연산자 풀은 얼마인가요?
• RQ2 대칭이 존재할 경우 ADAPT-VQE에서 수렴성을 보장하기 위해 어떻게 연산자 풀을 구성할 수 있나요?
• RQ3 ADAPT-VQE의 측정 오버헤드를 큐비트 수에 대해 4차에서 선형 스케일링으로 줄일 수 있나요?
• RQ4 파울리 스트링이 ADAPT-VQE의 유효한 안사 시작자로 사용되기 위해 충족해야 할 대수적 및 대칭 조건은 무엇인가요?
• RQ5 대칭성에 적합한 최소 크기의 풀을 사용하면 분자 시스템에 대한 VQE 시뮬레이션의 수렴성과 효율성이 향상되나요?

주요 결과

• n 큐비트에 대해 대칭 제약 조건 하에서 전체 하이르베르트 공간을 커버하는 완전한 연산자 풀의 최소 크기는 2n−2이다.
• 참조 상태의 대칭성을 유지하고 정확히 네 개의 X/Y 파울리 연산자를 포함하는 2n−2 크기의 연산자 풀은 하이르베르트 공간의 임의의 양자 상태를 표현할 수 있다.
• 풀이 대칭성을 무시할 경우, 큰 풀이라도 ADAPT-VQE에서 수렴하지 못하는 결과가 발생한다.
• 대칭성에 적합한 최소 크기의 풀을 사용함으로써 ADAPT-VQE의 측정 오버헤드가 O(n⁴)에서 O(n)으로 감소한다.
• 제안된 대칭성에 적합한 풀을 사용한 고전적 ADAPT-VQE 시뮬레이션은 BeH₂ 및 기타 분자에서 정확한 기본 상태 에너지로 수렴하며, 회로 깊이와 측정 비용이 크게 감소한다.
• 모든 안사 생성자가 대칭을 보존하고 최소한의 중복을 가지도록 보장함으로써 이 방법은 효율적이고 확장 가능한 VQE 시뮬레이션을 가능하게 한다.