[논문 리뷰] Avoiding two consecutive blocks of same size and same sum over $\mathbb{Z}^2$

Rao, Michaël, Rosenfeld, Matthieu|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 18.

semigroups and automata theory참고 문헌 13인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 Z²가 균일하게 2-반복적이지 않음을 증명하기 위해, 3글자 알파벳 위의 무한어를 구성함으로써, 주기 5를 초과하는 아벨 제곱을 피하는 방법을 제시한다. 이는 아벨 제곱 자유성의 검증을 위한 새로운 알고리즘을 사용하며, 특정 멀티플리케이션 h₆에 기반한다. 이 구성은 Z² 위에서의 덧셈 제곱 자유성 및 장기적인 2-아벨 제곱 회피로 확장되며, 세 글자 알파벳에서 아벨 제곱을 피하는 마켈라 문제의 약한 형태를 해결한다.

ABSTRACT

A long standing question asks whether $\mathbb{Z}$ is uniformly 2-repetitive [Justin 1972, Pirillo and Varricchio, 1994], that is, whether there is an infinite sequence over a finite subset of $\mathbb{Z}$ avoiding two consecutive blocks of same size and same sum or not. Cassaigne \emph{et al.} [2014] showed that $\mathbb{Z}$ is not uniformly 3-repetitive. We show that $\mathbb{Z}^2$ is not uniformly 2-repetitive. Moreover, this problem is related to a question from Mäkelä in combinatorics on words and we answer to a weak version of it.

연구 동기 및 목표

• Z가 균일하게 2-반복적이냐는 오랫동안 미해결된 문제를 Z²로 확장한다.
• 세 글자 알파벳에서 주기 ≥2인 아벨 제곱을 피하는 마켈라 문제의 약한 형태에 대한 구축적 해법을 제시한다.
• 유한 알파벳 위의 모르픽 어의 아벨 제곱 자유성 검증을 위한 새로운 알고리즘을 개발하고 적용한다.
• Z² 위에서 덧셈 제곱을 피하는 무한어의 존재를 확립한다.
• 결정 가능 기법을 확장하여 모르픽 수열에서 덧셈 및 장기 아벨 거듭제곱을 다룰 수 있도록 한다.

제안 방법

• 복잡한 멀티플리케이션(예: h₆)을 포함하는 아벨 거듭제곱 자유성 검증을 위한 새로운 알고리즘을 도입한다.
• 여섯 글자에 정의된 멀티플리케이션 h₆를 사용하여 무한 고정점 h₆^ω(a)를 생성하고, 이에 대해 알고리즘을 통해 아벨 제곱 자유성이 증명된다.
• 파리크 벡터 기반의 행렬 표현 FΦ를 사용하여 단어를 Z²로 매핑함으로써 덧셈 k제곱의 분석이 가능해진다.
• 알고리즘을 사용하여 계산된 경계(44) 이내의 모든 요소를 검토함으로써, 고정점 h₆^ω(a)가 Φ에 대해 덧셈 제곱을 피하는지 확인한다.
• 역행렬이 존재하고 고유값의 크기가 1 이하인 h₈라는 두 번째 멀티플리케이션을 구성하여 추가적인 아벨 제곱 자유 어를 생성한다.
• g₃를 포함한 멀티플리케이션의 조합을 사용하여 주기 5를 초과하는 아벨 제곱을 피하는 어를 생성함으로써, 마켈라 문제의 약한 형태에 대한 답을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3글자 알파벳 위의 무한어가 주기 5를 초과하는 아벨 제곱을 피할 수 있는가?
• RQ2 Z²는 균일하게 2-반복적이냐, 즉 Z²의 유한 부분집합 위의 모든 무한어가 덧셈 제곱을 포함하는가?
• RQ3 복잡한 구조와 비자명한 파리크 사상이 있는 멀티플리케이션에 대해 아벨 거듭제곱 자유성의 결정 가능성을 확장할 수 있는가?
• RQ4 {0,1,2,3} 위에서 덧셈 세제곱을 피하는 무한어가 존재하는가, 아니면 이 알파벳이 장애물이 되는가?
• RQ5 이진 알파벳 위에서, 모르픽 구성으로 주기적 2-아벨 제곱을 피할 수 있는가?

주요 결과

• Z²는 덧셈 제곱을 피하는 3글자 알파벳 위의 무한어의 존재로 인해 균일하게 2-반복적이지 않다.
• 고정점 h₆^ω(a)는 주기 44 이내의 모든 요소를 검토하는 새로운 알고리즘을 통해 아벨 제곱 자유성이 입증된다.
• 멀티플리케이션 h₆는 {a,b,c,d,e,f} 위에서 아벨 제곱을 피하는 무한어를 생성하며, 이 성질은 모르픽 이미지에 유지된다.
• 세 글자 알파벳 위에서 주기 5를 초과하는 아벨 제곱을 피하는 무한어가 존재하며, 이는 마켈라 문제의 약한 형태에 대한 긍정적 해답을 제공한다.
• 모르픽 사상 Φ에 따라 Z² 위에서 덧셈 제곱 자유어가 존재함을 확인함으로써, Z²가 균일하게 2-반복적이지 않음을 확인한다.
• 구성된 어 h₂(g₃(h₆^ω(a)))는 주기 60을 초과하는 2-아벨 제곱을 피하며, 이는 장기적인 2-아벨 제곱이 모르픽 조합을 통해 피할 수 있음을 보여준다.