[논문 리뷰] Axiomatizing rational power series

Stephen L. Bloom, Zoltán Ésik|ArXiv.org|2007. 12. 09.

semigroups and automata theory참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 확장된 자연수 위에서의 유리형 멱급수의 반순서환, $Ν_{∞}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$로 표기되며, 세 가지 추가 항등식을 만족하는 반순서환의 자유 대칭 인덕티브 ∗-반순서환임을 증명한다. 또한, 유한한 등식적 공리 체계를 제공하여, Kozen의 정규 언어에 대한 공리 체계를 비가환, 가중치가 있는 구조로 확장한다.

ABSTRACT

Iteration semirings are Conway semirings satisfying Conway's group identities. We show that the semirings $\N^{ at}\llangle Σ^* rangle$ of rational power series with coefficients in the semiring $\N$ of natural numbers are the free partial iteration semirings. Moreover, we characterize the semirings $\N_\infty^{ at}\llangle Σ^* rangle$ as the free semirings in the variety of iteration semirings defined by three additional simple identities, where $\N_\infty$ is the completion of $\N$ obtained by adding a point of infinity. We also show that this latter variety coincides with the variety generated by the complete, or continuous semirings. As a consequence of these results, we obtain that the semirings $\N_\infty^{ at}\llangle Σ^* rangle$, equipped with the sum order, are free in the class of symmetric inductive $^*$-semirings. This characterization corresponds to Kozen's axiomatization of regular languages.

연구 동기 및 목표

• 유리형 멱급수의 공리 체계를 Kozen의 정규 언어 공리 체계에서 확장하여, 비가환, 가중치가 있는 구조로 일반화한다.
• 반순서환 $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$가 반복 반순서환의 다양체에서 자유 대상임을 특성화한다.
• 무한을 포함하는 반복 반순서환의 다양체가 완비(연속적) 반순서환의 다양체와 일치함을 보인다.
• 반순서환 $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$가 합 순서에 대해 대칭 인덕티브 ∗-반순서환의 범주에서 자유 생성됨을 증명한다.
• 계수 집합 $Ν_{\infty}$에 대한 유리형 멱급수에 대해, Salomaa와 Kozen의 결과를 가중치가 있는 오토마타와 형식적 멱급수로 일반화한 유한한 등식적 공리 체계를 제공한다.

제안 방법

• 무한점을 추가한 $Ν$의 완비화인 $Ν_{\infty}$ 반순서환을 사용하여, 유리형 멱급수의 무한 가중치를 모델링한다.
• 반복 반순서환 이론과 Conway 반순서환 항등식을 적용하여, 유리형 급수에 대한 스타 연산을 정의한다.
• 합 순서를 $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$에 도입하여, 인덕티브 ∗-반순서환과 대칭 인덕티브 ∗-반순서환을 정의한다.
• 항등식 $1^{*}1^{*}=1^{*}$, $1^{*}a=a1^{*}$, $1^{*}(1^{*}a)^{*}=1^{*}a^{*}$를 만족하는 반복 반순서환의 다양체에서 자유 대상이 $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$임을 증명한다.
• 이러한 반복 반순서환의 다양체가 완비(연속적) 반순서환의 다양체와 일치함을 증명한다.
• 준위상 사상의 확장 정리들을 사용하여, $a1^{*} \leq 1^{*}a$를 만족하는 $Σ$에서 대칭 인덕티브 ∗-반순서환으로의 함수는 $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$에서 ∗-반순서환 사상으로 유일하게 확장됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수 집합이 확장된 자연수 $Ν_{\infty}$인 유리형 멱급수의 등식적 공리 체계는 무엇인가?
• RQ2 무한을 포함하는 반복 반순서환의 다양체에서의 자유 대상은 대칭 인덕티브 ∗-반순서환과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 항등식 $1^{*}1^{*}=1^{*}$, $1^{*}a=a1^{*}$, $1^{*}(1^{*}a)^{*}=1^{*}a^{*}$를 만족하는 반복 반순서환의 다양체는 완비 반순서환의 다양체로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$는 합 순서에 대해 대칭 인덕티브 ∗-반순서환의 범주에서 자유 생성되는가?
• RQ5 $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$가 $a1^{*} \leq 1^{*}a$를 만족하는 모든 인덕티브 ∗-반순서환으로의 사상 확장 성질을 갖는가?

주요 결과

• 반순서환 $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$는 항등식 $1^{*}1^{*}=1^{*}$, $1^{*}a=a1^{*}$, $1^{*}(1^{*}a)^{*}=1^{*}a^{*}$를 만족하는 반복 반순서환의 다양체에서 자유 대상이다.
• 이러한 반복 반순서환의 다양체는 완비(연속적) 반순서환의 다양체와 동치이다.
• 합 순서를 갖춘 반순서환 $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$는 대칭 인덕티브 ∗-반순서환의 범주에서 $Σ$에 의해 자유 생성된다.
• 모든 인덕티브 ∗-반순서환 $S$가 $a1^{*} \leq 1^{*}a$를 만족할 때, 임의의 함수 $h: \Sigma \to S$는 $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$에서 $S$로의 ∗-반순서환 사상 $h^\sharp$로 유일하게 확장된다.
• 사상 $h^\sharp$는 합 순서를 유지하므로, $Ν_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$에서 $s \leq s'$이면 $h^\sharp(s) \leq h^\sharp(s')$임을 보장한다.
• 유한한 $k \geq 1$에 대해, 반순서환 $β^{\rm rat}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$는 항등식 $k = k + 1$을 만족하는 $Σ$ 위에서 자유 인덕티브 ∗-반순서환과 자유 대칭 인덕티브 ∗-반순서환 둘 다이다.