[논문 리뷰] B-metric spaces, fixed points and Lipschitz functions

Ştefan Cobzaş|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 08.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 50인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 b-거리공간의 완비성을 확립하고, b-거리공간 및 일반화된 b-거리공간에서의 고정점 정리들을 증명한다. 또한 동차 유형 공간과 준-바나흐 공간에서 리프시츠 함수의 행동을 분석하여, 국소적으로 볼록하지 않은 준-바나흐 공간에서는 표준 평균값 정리가 성립하지 않으며, 리프시츠 함수가 도함수가 거의 everywhere에서 0이지만 고전적 의미에서 미분 가능하지 않을 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

The paper is concerned with b-metric and generalized b-metric spaces. One proves the existence of the completion of a generalized b-metric space and some fixed point results. The behavior of Lipschitz functions on b-metric spaces of homogeneous type, as well as of Lipschitz functions defined on, or with values in quasi-Banach spaces, is studied.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 b-거리공간에 대한 완비성 존재를 확립하기.
• b-거리공간 및 일반화된 b-거리공간에서의 고정점 정리 증명하기.
• 동차 유형 공간과 준-바나흐 공간에서 리프시츠 함수의 행동 연구하기.
• 국소적으로 볼록하지 않은 준-바나흐 공간에서 고전적 미분 가능성과 평균값 정리의 실패를 조사하기.
• 적절한 b-거리 구조 하에서 리프시츠 함수 클래스 Lip(β,q)와 헬더 함수 클래스 Lip(β)의 동치성을 보여주기.

제안 방법

• Frink의 거리화 정리를 사용하여 λ ≤ 2인 λ-유사 삼각부등식을 만족하는 b-거리 d로부터 거리 ρ를 정의한다.
• 두 점을 연결하는 모든 체인에 대해 최소값을 취하여 ρ(x,y) = inf ∑ d(xi−1,xi)로 정의함으로써, ρ가 d와 동치임을 보장한다.
• 모든 일반화된 b-거리공간이 코시 수열과 그 동치류를 통해 완비화됨을 증명한다.
• s-유사 삼각부등식에 적응된 수축사상 원리를 이용하여 고정점 결과를 확립한다.
• 공간의 동차 유형에서 리프시츠 함수를 분석하기 위해 구 위에서의 진동의 Lq 노름을 사용한다.
• 동차 유형 공간에 대해 b-거리 δ를 구성하여, d 하에서의 Lip(β,q) 함수가 δ 하에서 헬더 연속 함수로 대응됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 일반화된 b-거리공간은 완비화될 수 있는가? 만약 그렇다면, 완비화는 어떻게 구성되는가?
• RQ2 b-거리공간이 수축 사상에 대해 고정점을 가질 조건은 무엇인가?
• RQ3 리프시츠 함수는 동차 유형 공간에서 어떻게 행동하는가? 그리고 새로운 b-거리 하에서 헬더 연속성으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 왜 국소적으로 볼록하지 않은 준-바나흐 공간에서 값이 존재하는 함수에 대해 평균값 정리가 실패하는가?
• RQ5 적절한 b-거리 하에서 리프시츠 클래스 Lip(β,q)와 헬더 클래스 Lip(β) 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 일반화된 b-거리공간의 완비화가 존재하며, 코시 수열의 동치류를 통해 구성될 수 있다.
• 모든 b-거리공간이 λ ≤ 2인 λ-유사 삼각부등식을 만족할 경우, 체인을 통해 정의된 함수 ρ는 d와 동치인 거리이다.
• 동차 유형 공간에 대해 b-거리 δ가 존재하여, d 하에서의 Lip(β,q) 함수가 δ 하에서 헬더 연속 함수로 대응된다.
• 국소적으로 볼록하지 않은 준-바나흐 공간에서는, 리만 적분 가능 도함수를 가지며 도함수가 거의 everywhere에서 0이지만 리프시츠 함수가 아닌 연속 미분 가능 함수가 존재한다.
• 구성된 b-거리 δ 하에서 φ ∈ Lip(β,q) 및 ψ ∈ Lip(β)일 때, ‖φ‖β,q와 ‖ψ‖β의 노름이 동치이다.
• 자기 이중이 자명한 F-공간에서는 도함수가 곳곳에서 0인 경로 x₀에서 x₁로의 경로가 존재하여, 준-바나흐 공간에서 미분 가능성은 리프시츠 연속성을 함의하지 않음을 보여준다.