[논문 리뷰] Babuška-Osborn techniques in discontinuous Galerkin methods: $L^2$-norm error estimates for unstructured meshes

Emmanuil H. Georgoulis, Charalambos Makridakis외 1명|Leicester Research Archive (University of Leicester)|2017. 04. 18.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 메시에 따라 달라지는 노름에서 새로운 인프-서프 안정성 조건을 도입함으로써, 비균일하고 가능하면 그레디언트 메시 위에서 대칭 내부 페널티 불연속 갈레르킨(dG) 방법에 대한 최적의 $\operatorname{L}^2$-노름 사전 오차 추정치를 수립한다. 주요 기여는 $\|u - u_h\|_{\operatorname{L}^2} \leq C\left(\sum_{K\in\mathscr{T}} h_K^4 \|D^2 u\|_{\operatorname{L}^2(K)}^2\right)^{1/2}$ 형태의 오차 경계를 증명하는 것으로, 전역 최대 메시 크기 의존성을 제거하고, 조건부 방법에서 dG 방법으로 결과를 확장함으로써 표준 경계를 향상시킨다.

ABSTRACT

We prove the inf-sup stability of the interior penalty class of discontinuous Galerkin schemes in unbalanced mesh-dependent norms, under a mesh condition allowing for a general class of meshes, which includes many examples of geometrically graded element neighbourhoods. The inf-sup condition results in the stability of the interior penalty Ritz projection in $L^2$ as well as, for the first time, quasi-best approximations in the $L^2$-norm which in turn imply a priori error estimates that do not depend on the global maximum meshsize in that norm. Some numerical experiments are also given.

연구 동기 및 목표

• 비균일하고 기하학적으로 그레디언트된 메시 위에서 대칭 내부 페널티 dG 방법에 대한 최적의 $\operatorname{L}^2$-노름 사전 오차 추정치를 유도하는 것.
• 비균형적이고 메시에 따라 달라지는 노름에서의 인프-서프 안정성을 확립하여 바부쉬카-오스본 프레임워크를 dG 방법으로 확장하는 것.
• 국소화된 버블 함수 기법을 사용하여 dG 방법에서의 기술적 과제, 예를 들어 경계 조건 항과 비연속적인 점프를 다루는 것.
• $\operatorname{L}^2$ 오차 추정치에서 전역 최대 메시 크기 의존성을 제거하여 준최적성( quasi-optimality)을 달성하는 것.
• $\operatorname{H}^1$ 이상의 정규성 조건을 초과하는 가정 없이도, $\operatorname{L}^2$-노름에서의 적응형 dG 스킴에 대한 수렴 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 비균형적이고 메시에 따라 달라지는 $\operatorname{L}^2$ 및 $\operatorname{H}^2$-유사 노름에서 내부 페널티 dG 이차형식에 대한 새로운 인프-서프 조건을 도입한다.
• 비연속 유한요소 분석에서의 국소화 기법을 dG 설정으로 확장하여 비연속성과 점프 항을 다룰 수 있도록 조정한다.
• 일관성 오차를 제어하기 위해 후행 분석을 위한 새로운 $\operatorname{H}^2$-연속 재구성 연산자를 사용한다.
• 내부 페널티 형식에서 발생하는 경계 조건 항을 효과적으로 제어하기 위해 비표준 버블 함수 기법을 활용한다.
• 메시 조건 $\|\llbracket h\rrbracket / \{\!\{h\}\}\|_{\operatorname{L}^\infty(\Gamma_{\rm int})} \leq \alpha < 1$ 하에서 안정성을 확립하여 기하학적으로 그레디언트된 메시를 허용한다.
• 이전 연구에서 사용된 초초과근사 기법을 피함으로써, 오차 추정치에서 다항식 차수에 대한 개선된 의존성을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역 최대 메시 크기 의존성이 없는 최적의 $\operatorname{L}^2$-노름 오차 추정치를 dG 방법에 대해 도출할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 비균일 메시 조건 하에서 바부쉬카-오스본 프레임워크를 dG 방법으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 어떤 메시 조건이 dG 스킴에 대해 메시에 따라 달라지는 노름에서의 인프-서프 안정성을 보장하는가?
• RQ4 비연속 설정에서 국소화된 버블 함수를 사용하여 dG 이차형식의 경계 조건 항을 효과적으로 유계로 제어할 수 있는가?
• RQ5 정규성 조건을 $\operatorname{H}^1$ 수준으로 완화하면서도 $\operatorname{L}^2$에서 최적 수렴률을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 메시에 따라 달라지는 비균형 노름에서 내부 페널티 dG 방법에 대한 새로운 인프-서프 조건을 증명하여, 메시 그레디언트 조건 하에서 안정성을 확보한다.
• 형태 $\|u - u_h\|_{\operatorname{L}^2} \leq C\left(\sum_{K\in\mathscr{T}} h_K^4 \|D^2 u\|_{\operatorname{L}^2(K)}^2\right)^{1/2}$ 의 최적의 $\operatorname{L}^2$-노름 오차 추정치를 확립하여 기존의 표준 추정치를 향상시킨다.
• 오차 추정치는 전역 최대 메시 크기 $h_{\max}$ 의존성이 없으며, 적응형 및 그레디언트 메시에 적합하다.
• 분석은 $\operatorname{H}^1(\Omega)$ 함수에 대해서만 유효하여 $s > 3/2$ 인 $\operatorname{H}^s$ 정규성 조건이 필요 없음을 보여준다.
• 초초과근사 기법을 피하기 때문에 오차 추정치에서 다항식 차수 $k$ 에 대한 의존성이 향상된다.
• 수치 실험은 이론적 수렴률을 확인하고, 그레디언트 메시에서 추정치의 강건성을 검증한다.