[논문 리뷰] Backdoors to Normality for Disjunctive Logic Programs

Johannes K. Fichte, Stefan Szeider|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 08.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 33인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 정규성으로의 백도어를 이분법적 논리 프로그램의 구조적 매개변수로 도입하여, 두 번째 수준의 다항시간 계층(Polynomial Hierarchy) 문제인 Brave 및 Skeptical Reasoning을 명제 만족성(Sat)으로의 고정매개변수 다항시간(FPT) 감소를 가능하게 한다. 작은 백도어(프로그램을 정규형으로 만드는 원소들의 집합)를 활용함으로써, 저자들은 O(2^k n²)의 변환 시간을 달성하며, 지수적 증가를 매개변수 k로 국한시켜, NP나 co-NP를 초월하는 문제에 대해서도 효율적인 SAT 기반 해결을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Over the last two decades, propositional satisfiability (SAT) has become one of the most successful and widely applied techniques for the solution of NP-complete problems. The aim of this paper is to investigate theoretically how Sat can be utilized for the efficient solution of problems that are harder than NP or co-NP. In particular, we consider the fundamental reasoning problems in propositional disjunctive answer set programming (ASP), Brave Reasoning and Skeptical Reasoning, which ask whether a given atom is contained in at least one or in all answer sets, respectively. Both problems are located at the second level of the Polynomial Hierarchy and thus assumed to be harder than NP or co-NP. One cannot transform these two reasoning problems into SAT in polynomial time, unless the Polynomial Hierarchy collapses. We show that certain structural aspects of disjunctive logic programs can be utilized to break through this complexity barrier, using new techniques from Parameterized Complexity. In particular, we exhibit transformations from Brave and Skeptical Reasoning to SAT that run in time O(2^k n^2) where k is a structural parameter of the instance and n the input size. In other words, the reduction is fixed-parameter tractable for parameter k. As the parameter k we take the size of a smallest backdoor with respect to the class of normal (i.e., disjunction-free) programs. Such a backdoor is a set of atoms that when deleted makes the program normal. In consequence, the combinatorial explosion, which is expected when transforming a problem from the second level of the Polynomial Hierarchy to the first level, can now be confined to the parameter k, while the running time of the reduction is polynomial in the input size n, where the order of the polynomial is independent of k.

연구 동기 및 목표

• NP나 co-NP를 초월하는 문제, 특히 Brave 및 Skeptical Reasoning을 포함한 이분법적 최적해 프로그래밍(Asp)에서의 추론 문제 해결에 도전한다.
• 다항시간 감소가 두 번째 수준의 PH 문제에서 Sat로 가능하지 않다면 다항시간 계층이 붕괴된다는 이론적 장벽을 극복한다.
• 이분법적 논리 프로그램 내의 구조적 매개변수를 규명하여, Sat로의 고정매개변수 다항시간(FPT) 감소를 가능하게 하여, 현대의 SAT 솔버의 실용적 활용을 가능하게 한다.
• 백도어가 정규성(정규성으로의 백도어)인 것이 FPT 감소를 달성하는 데 핵심이며, 백도어가 타이트성으로의 것이면 다항시간으로 해결되지 않는다는 점을 입증한다.
• NP를 초월하는 더 넓은 범위의 조합 최적화 문제에 대해 SAT 솔버의 적용 가능성을 이론적으로 기반화한다.

제안 방법

• 백도어가 정규성임을 정의한다: 이는 이분법적 논리 프로그램을 정규형(논리합이 없는 형태)으로 만드는 원소들의 최소 집합이다.
• 크기가 최대 k인 강력한 백도어를 탐지하는 알고리즘을 개발하며, 이는 O(2^k n²) 시간 내에 수행된다.
• 두 개의 명제 공식 F_Brave(a*)와 F_Skept(a*)를 구성한다. 여기서 F_Brave(a*)가 만족 가능할 조건은 원소 a*가 적어도 하나의 최적해 집합에 포함될 때이며, F_Skept(a*)가 만족 불가능할 조건은 a*가 모든 최적해 집합에 포함될 때이다.
• 정규 프로그램에 대한 Brave 및 Skeptical Reasoning이 각각 NP 및 co-NP에 속한다는 사실을 활용하여 원래 문제의 복잡도를 감소시킨다.
• 매개변수 복잡도 이론을 활용하여 지수적 비용이 백도어 크기 k에 국한됨을 보이며, 나머지 계산은 입력 크기 n에 대해 다항시간으로 수행됨을 보여준다.
• 백도어가 타이트성으로의 것이면 유사한 FPT 감소를 이룰 수 없음을 증명한다. 실제로 타이트성으로부터 거리가 1인 프로그램들조차도 전체적인 두 번째 수준 PH 복잡도를 유지하기 때문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이분법적 논리 프로그램의 구조적 성질이 두 번째 수준 PH 추론 문제를 명제 만족성으로의 FPT 감소를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 정규성으로의 최소 백도어 크기라는 매개변수가 ASP 추론 문제에서 FPT 감소를 달성하는 데 실용적인가?
• RQ3 왜 정규성으로의 백도어는 FPT 감소에 효과적인 데 반해, 타이트성으로의 백도어는 그렇지 않은가?
• RQ4 현대의 SAT 솔버는 이러한 백도어 기반 인코딩을 통해 얼마나 넓은 범위의 어려운 ASP 문제를 해결하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ5 백도어가 정규성으로의 것이 충분히 작아서 FPT 감소가 효율적으로 작동할 수 있는 실용적인 ASP 인스턴스 클래스가 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 이분법적 ASP에서 Brave 및 Skeptical Reasoning을 O(2^k n²) 시간 내에 Sat로 감소시킬 수 있음을 입증한다. 여기서 k는 정규성으로의 최소 백도어 크기이며, n은 입력 크기이다.
• 정규성으로의 백도어를 통해 FPT 감소가 가능하며, 이는 매개변수 k가 작을 경우 다항시간 계층의 두 번째 수준에서 첫 번째 수준으로의 복잡도 장벽을 돌파할 수 있음을 보여준다.
• 실험 결과, ConformantPlanning과 같은 구조적 인스턴스는 평균적으로 총 원소의 0.69% 수준으로 매우 작은 정규성 백도어를 보이며, 실용적 가능성을 시사한다.
• 반면, 무작위 및 어려운 벤치마크 인스턴스(RandomQBF, Mutex 등)는 큰 백도어를 보이며(최대 49.94%), 이러한 인스턴스에 대해서는 한계가 있음을 나타낸다.
• 최소 강력한 정규성 백도어 크기는 최소 강력한 홀른 백도어 크기보다 훨씬 작다(ConformantPlanning의 경우 0.7% 대비 8.8%). 이는 정규성 백도어의 우수성을 강조한다.
• 백도어가 타이트성으로의 것이면 FPT 감소를 이룰 수 없으며, 심지어 타이트성으로부터 거리가 1인 프로그램들조차도 전체적인 두 번째 수준 PH 복잡도를 유지하므로, 이러한 매개변수화는 FPT 감소에 적합하지 않다.